Formulaire de physique statistique

Description des systèmes

En situation microcanonique

• Description : l’énergie $E$ et le nombre de particules $N$ sont connus exactement.
• Probabilité microcanonique : $p_{i}={\frac {1}{\Omega }}$
• Distribution d'une variable interne
• Densité d'états de particules libres
• Densité d'états de particules classiques indépendantes

En situation canonique

• Description : l'énergie $E$ est connue en moyenne et le nombre de particules $N$ est connu exactement.
• Probabilité canonique : $p_{i}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{i}}$
• Fonction de partition : $Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}$
• Énergie moyenne : ${\bar {E}}=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}$
• Capacité calorifique
• Entropie canonique : $S=k_{B}\ln Z-k_{B}\beta {\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}$
• Énergie libre : $F=E-TS$
• Pression canonique : $p=\left.{\frac {\partial F}{\partial V}}\right|_{T,V}$
• Potentiel chimique canonique : $\mu =\left.{\frac {\partial F}{\partial N}}\right|_{T,V}$
• Distribution d'une variable interne

En situation grand-canonique

• Description : l’énergie $E$ et le nombre de particules $N$ sont connus en moyenne.
• Probabilité grand-canonique : $p_{i}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{i}+\alpha N_{i}}$
• Grande fonction de partition : $Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}+\alpha N_{i}}=\sum _{N}e^{\alpha N_{i}}Z_{N}$ où $Z_{N}$ est la fonction de partition canonique du même ensemble avec un nombre fixé $N$ de particules.
• Grand potentiel : $\Phi =E-TS-\mu N$
• Nombre moyen de particules : ${\bar {N}}={\frac {\partial \ln Z}{\partial \alpha }}$
• Energie moyenne : ${\bar {E}}=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}$
• Pression grand-canonique : $p=-\left.{\frac {\partial \Phi }{\partial V}}\right|_{T,\mu }$
• Entropie grand-canonique : $S=-\left.{\frac {\partial \Phi }{\partial T}}\right|_{V,\mu }$
• Distribution d'une variable interne
• situation des particules

Distributions

De Bose-Einstein

$f_{BE}(\epsilon ,T)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {\epsilon -\mu (T)}{k_{B}T}}\right)}-1}}$

De Fermi-Dirac

$f_{FD}(\epsilon ,T)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {\epsilon -\mu (T)}{k_{B}T}}\right)}+1}}$

De Maxwell-Boltzmann

$f_{MB}(\epsilon ,T)=\exp {\left(-{\frac {\epsilon -\mu (T)}{k_{B}T}}\right)}$

Gaz parfait

Gaz parfait de fermions

• Nombre de particules
• Énergie moyenne
• Grand potentiel
• Entropie
• Pression
• Énergie de Fermi
• Énergie cinétique totale
• Propriétés à basses températures
• Propriétés à hautes températures

Gaz parfait de bosons

• Nombre de particules
• Energie moyenne
• Grand potentiel
• Entropie
• Pression
• Température de Bose
• Propriétés à T<Tb
• Propriétés à T>Tb