Formulaire de relativité restreinte

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Les notations[modifier | modifier le wikicode]

Systèmes d'axes parallèles

Les formules établissent le passage entre les coordonnées (t, x ) d'un événement dans le repère inertiel fixe, disons celui de la Terre, et les coordonnées (t ’x ’ ) du même événement dans le repère mobile, disons de la fusée, laquelle se déplace le long de l'axe des x avec la vitesse v.

On suppose que les origines du temps coïncident à

On pose :

Le paramètre angulaire[modifier | modifier le wikicode]

Pour simplifier les formules il est utile d'introduire le paramètre angulaire défini par les formules suivantes :

  soit  

À l'aide de ce paramètre on peut écrire :

L'invariant de la relativité restreinte[modifier | modifier le wikicode]

La quantité suivante est invariante dans un changement de coordonnées

et définit le temps propre

Les transformations de Lorentz[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant les fonctions hyperboliques de l'angle θ, on a :

En sens inverse

ou

La dilatation du temps[modifier | modifier le wikicode]

Si l'horloge de la fusée mesure la durée entre deux événements se produisant dans cette fusée, donc séparés par une distance spatiale , la durée mesurée dans le laboratoire fixe de la Terre est

La durée mesurée dans un repère extérieur est toujours plus grande que la durée propre.

La contraction des longueurs[modifier | modifier le wikicode]

Si la fusée est de longueur L’ dans son propre repère, sa longueur L mesurée par la distance entre les deux points de la Terre en coïncidence avec l'avant et l'arrière de la fusée au même instant (sur Terre), donc correspondant à , est donnée par

La longueur mesurée sur Terre est plus petite que la longueur propre de la fusée.

Loi de composition des vitesses[modifier | modifier le wikicode]

Un obus est tiré dans la fusée avec une vitesse w ’ par rapport au repère de cette fusée, dans la direction du mouvement. La vitesse w de l'obus par rapport à la Terre est

En utilisant les paramètres angulaires

on a

Le quadrivecteur énergie-impulsion[modifier | modifier le wikicode]

Comme

on a

Aux faibles vitesses

On a toujours la relation

La quantité suivante est invariante dans un changement de repère

Pour un photon, m = 0 et

Énergie cinétique[modifier | modifier le wikicode]

L'énergie cinétique d'une particule est

Pour

et pour

Formules de changement de repère[modifier | modifier le wikicode]

Ce sont les formules de Lorentz

ou

Transformations inverses

Le voyage dans le futur des autres[modifier | modifier le wikicode]