Formulaire de relativité restreinte
Les notations[modifier | modifier le wikicode]
Les formules établissent le passage entre les coordonnées (t, x ) d'un événement dans le repère inertiel fixe, disons celui de la Terre, et les coordonnées (t ’, x ’ ) du même événement dans le repère mobile, disons de la fusée, laquelle se déplace le long de l'axe des x avec la vitesse v.
On suppose que les origines du temps coïncident à
On pose :
Le paramètre angulaire[modifier | modifier le wikicode]
Pour simplifier les formules il est utile d'introduire le paramètre angulaire défini par les formules suivantes :
- soit
À l'aide de ce paramètre on peut écrire :
L'invariant de la relativité restreinte[modifier | modifier le wikicode]
La quantité suivante est invariante dans un changement de coordonnées
et définit le temps propre
Les transformations de Lorentz[modifier | modifier le wikicode]
En utilisant les fonctions hyperboliques de l'angle θ, on a :
En sens inverse
ou
La dilatation du temps[modifier | modifier le wikicode]
Si l'horloge de la fusée mesure la durée entre deux événements se produisant dans cette fusée, donc séparés par une distance spatiale , la durée mesurée dans le laboratoire fixe de la Terre est
La durée mesurée dans un repère extérieur est toujours plus grande que la durée propre.
La contraction des longueurs[modifier | modifier le wikicode]
Si la fusée est de longueur L’ dans son propre repère, sa longueur L mesurée par la distance entre les deux points de la Terre en coïncidence avec l'avant et l'arrière de la fusée au même instant (sur Terre), donc correspondant à , est donnée par
La longueur mesurée sur Terre est plus petite que la longueur propre de la fusée.
Loi de composition des vitesses[modifier | modifier le wikicode]
Un obus est tiré dans la fusée avec une vitesse w ’ par rapport au repère de cette fusée, dans la direction du mouvement. La vitesse w de l'obus par rapport à la Terre est
En utilisant les paramètres angulaires
on a
Le quadrivecteur énergie-impulsion[modifier | modifier le wikicode]
Comme
on a
Aux faibles vitesses
On a toujours la relation
La quantité suivante est invariante dans un changement de repère
Pour un photon, m = 0 et
Énergie cinétique[modifier | modifier le wikicode]
L'énergie cinétique d'une particule est
Pour
et pour
Formules de changement de repère[modifier | modifier le wikicode]
Ce sont les formules de Lorentz
ou
Transformations inverses
Le voyage dans le futur des autres[modifier | modifier le wikicode]
On considère R' le référentiel du voyageur A qui se déplace à 3/5 c ce qui donne une dilatation du temps de
- Si T0 est la durée du voyage dans R', dans R le voyage aller a duré T1 = γT0 = 5/4 années, en parcourant vγT0= 3/5 × 5/4 T0 année-lumière= 3/4 T0 a.l.
(a.l. signifie année lumière ou distance parcourue par la lumière en un an )
- Pour simplifier prenons un voyage de T0 = 1 an et pour moderniser le voyage, O et O' sont sous vidéo avec émission en continu.
- Par effet Doppler, les émissions sont reçues au ralenti avec un facteur (1+v/c) = 8/5 qui combiné avec la dilatation du temps 5/4 donne
Il faut donc à chacun, et la situation est symétrique pour B en O et A en O', le double de temps pour visionner en « direct » la vie de l'autre tant que ni l'un ni l'autre ne modifie son mouvement.
- Supposons que A s'arrête au bout d'un an, sans revenir.
- Point de vue de A : Il a reçu 6 mois de la vie de B au ralenti en un an de son trajet et recevra la suite de vie de B avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute des six mois de la vie de B, visionnée au ralenti par A, a été émise 3/4 d'an plus tôt : A sait donc que B a vécu 5/4 d'année depuis son départ, ce qui est bien la durée T1 du voyage de A dans le référentiel de B.
- Point de vue de B : Après avoir reçu au ralenti le voyage aller de A en 2 ans, B reçoit la vie de A avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute du voyage de A, visionnée au ralenti par B, a été émise 3/4 d'an plus tôt : B sait donc que le voyage de A a duré (dans le référentiel de B) 2 ans moins 3/4 année, soit 5/4 d'année, ce qui est bien la durée T1 du voyage de A dans le référentiel de B.
- Supposons maintenant que A en O' fasse demi tour au bout d'un an temps propre pour lui :
- Point de vue de A : Il n'a alors visionné que 6 mois de la vie de B situé en O et il lui reste à recevoir ce qui est sur les 3/4 a.l qui séparent O de O', soit 3/4 ans du vécu de B en O non visionné par A situé en O', auquel il faudra ajouter la durée de vie de B pendant le voyage retour de A, soit T1 = 5/4 ans de la vie de B. A recevra donc en accéléré, en un an de son voyage retour, 2 ans de vie de B en O, ce qui est bien conforme à une réception en accéléré due au fait que le voyage retour rapproche A et O. En effet :
- A a donc voyagé pendant 2 ans et se retrouve avec B en O qui a vécu 6 mois + 2 ans = 2 ans et demi = 2T1.
- C'est l'effet dilatation du temps.
- Noter que A a fait demi tour dans un espace contenant des ondes qui se propagent vers B en O.
- Point de vue de B : En O, il reçoit pendant 2 ans le voyage aller de A en O' et lorsque A fait demi-tour, il ne le sait pas encore. Lorsqu'il reçoit l'information que A en O' a fait demi tour il y a déjà 3/4 d'an que A voyage sur le retour et A sera dans 6 mois en O : B en O reçoit ce retour d'un an de la vie de A en accéléré en ces 6 mois. B aura mis 2 ans et 6 mois pour recevoir les « 2ans » de voyage de A.
Pour bien percevoir l'effet relativiste, il faut voir ce que donnerait le formalisme classique.
- En ce qui concerne les messages émis de B vers A, A les perçoit à l'aller en ralenti avec le facteur , et au retour en accéléré avec le facteur , sans le facteur spécifiquement relativiste de dilatation du temps . La longueur du trajet de A est 3cT0/5, soit 3/5 a.l. (nous gardons les mêmes unités même si elles ne sont plus vraisemblables pour faciliter la comparaison).
- En ce qui concerne les messages émis de A vers B, B les perçoit à l'aller de A en ralenti avec le facteur , et au retour de A en accéléré avec le facteur .
- Point de vue de A : Pendant le voyage aller d'un an pour B, A reçoit au ralenti la vie de B avec un facteur 1 - 3/5, soit 2/5 de la vie de B. Au retour, A reçoit en accéléré la vie de B avec un facteur 1 + 3/5, soit 8/5 de la vie de B. Au cours de ses deux ans de voyage, A a visionné 2/5 + 8/5 = 2 années de la vie de B.
- Point de vue de B : B reçoit au ralenti une année de voyage de A, avec un facteur 1/(1 + 3/5)) = 5/8. A cet instant, A fait demi-tour, mais B ne le sait pas encore. Il le saura lorsque le signal émis par A lui parviendra, c’est-à-dire dans 3/5 d'année. B verra donc s'écouler 1 + 3/5 = 8/5 d'années pour visionner la totalité du voyage de A avant de le voir faire demi-tour. Ces 8/5 d'années correspondent bien à un an de la vie de A visionnée au ralenti avec un facteur 5/8. Lorsque B voit A faire demi-tour, A est déjà sur le chemin du retour depuis 3/5 d'année. Il lui reste donc 2/5 d'année à voyager. B, quant à lui, visionnera en accéléré la totalité du voyage retour avec un facteur 1/(1 - 3/5)) = 5/2. Ce visionnage du retour durera donc également 2/5 d'année, et B aura visionné 8/5 + 2/5 = 2 années de voyage de A.
L'aller et le retour de A ont duré chacun 1 an, A a vécu 2 ans. Et B a vécu 2 ans pour visionner les 2 ans du voyage de A : classique quoi ! Le temps est le même pour A et B : universel.