Hydrodynamique des fluides parfaits

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Débits[modifier | modifier le wikicode]

Débit volumique[modifier | modifier le wikicode]

Définition

On appelle débit volumique en un point, le volume de fluide passant en ce point par seconde.

Si pendant un temps il passe un volume alors le débit volumique est donné par

Sur le schéma suivant,

Physique Hydrodynamique demodebits.png

on s'intéresse au volume , compris entre les deux sections grisées, qui passe au point entre les instants et . À ce point la vitesse du fluide est . Donc, la longueur du volume est donnée par . Donc , avec la section de l'écoulement, on a



Pour un fluide incompressible, le volume se conserve tout le long d'un écoulement. Donc, en tout point de l'écoulement, il passe le même volume dans le même temps . Il y a donc conservation du débit volumique. C'est à dire, qu'en tous points et d'un écoulement on a

Physique Hydrodynamique conservationdebits.png

Débit massique[modifier | modifier le wikicode]

Définition

On appelle débit massique en un point, la masse de fluide passant en ce point par seconde.

Si pendant un temps il passe une masse alors le débit massique (ou ) et donné par

On peut relier le débit massique au débit volumique. En effet, on a donc

De même, en utilisant l'équation eq:dv2 on obtient

Pour un fluide incompressible, on obtient la même propriété sur les débits massiques que sur les débits volumiques. C'est à dire qu'en tous points et de l'écoulement on a

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Variation de la vitesse en fonction de la section[modifier | modifier le wikicode]

Soit une portion d'écoulement d'un fluide incompressible

Physique Hydrodynamique vitessesection.png

D'après la conservation des débits on a

Comme alors . Ce qui est intuitif. Pour faire passer le même débit par une section plus petite, il faut que la vitesse augmente.

On retiendra que plus la section d'un écoulement se resserre, plus la vitesse augmente.

Loi des nœuds hydrauliques[modifier | modifier le wikicode]

Soit la situation suivante :

Physique Hydrodynamique noeudshydro.png

Pour un fluide incompressible, on a : .

On peut généraliser ce résultat : À un nœud hydraulique, la somme des débits entrants (volumique ou massique) est égale à la somme des débits sortants.

L'équation de Bernoulli[modifier | modifier le wikicode]

Écoulement et ligne de courant[modifier | modifier le wikicode]

Définition

On appelle lignes de courant l'ensemble des tangentes aux vitesses du fluide.

insérer d'autres images de lignes de courant


Définition

On appelle écoulement stationnaire un écoulement qui ne varie pas au cours du temps.

Attention, un écoulement permanent (dont les vitesses sont constantes) n'est pas un écoulement uniforme (toutes les vitesses sont égales)!

Pour un écoulement uniforme, les lignes de courant représentent la trajectoire qu'aurait une petite particule plongée dans l'écoulement.

L'équation de Bernoulli[modifier | modifier le wikicode]

Pour un écoulement permanent d'un fluide incompressible on a, entre deux points et d'une même ligne de courant:

Avec

 *  la pression au point 
 *  la masse volumique du fluide
 *  l'accélération de la gravitation
 *  l'altitude du point 
 *  la vitesse du point 
 *  la puissance des actionneurs extérieurs (pompe,
   turbine,…). 
   Si l'actionneur fourni de la puissance (pompe,…) alors .
   Si l'actionneur reçoit de la puissance (turbine,…) alors .
 *  le débit volumique 


Remarque: dans tous les exercices les conditions d'application du théorème de Bernoulli seront réunies.

Applications[modifier | modifier le wikicode]

Limite hydrostatique[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas hydrostatique, les vitesses sont nulles () et il n'y a pas d'actionneur extérieur () donc d'après la formule de Bernoulli donnée ci-dessus on a

On retrouve alors la relation fondamentale de la statique des fluides (qui n'est donc qu'un cas particulier du théorème de Bernoulli).

Vidange d'un réservoir --- Formule de Torricelli[modifier | modifier le wikicode]

Physique Hydrodynamique toricelli.png

On réalise la vidange d'un réservoir par un robinet situé au fond de celui ci. On place le point () au niveau de la surface libre du réservoir et le point à la surface du jet sortant du robinet (). On prend comme référence des altitudes le fond du réservoir (donc et ). Il n'y a pas d'actionneur entre les points et ().

L'équation de Bernouilli (→) devient alors

Le fluide étant incompressible il y a conservation du débit volumique entre les points et . Soit

Or, la section au point est (en général) très supérieure à la section du robinet (). Si . On peut alors négliger le terme en dans l'équation eq:tori1.

On a alors, après simplification par et réorganisation

Cette équation n'est pas à savoir (comme toutes les équations de cette partie) mais il faut connaître la démonstration et les hypothèses qui permettent de la retrouver.

Dimensionnement d'une pompe[modifier | modifier le wikicode]

On cherche à dimensionner la pompe pour amener de l'eau d'un réservoir jusqu'à une altitude

Physique Hydrodynamique pompe.png

Comme pour la section précédente, on a , et . On peut généralement faire la même approximation sur les sections du fluide en et en , donc on peut négliger . La formule de Bernoulli (→) devient alors (après simplification des pressions)

Il est possible de réécrire cette équation en fonction du débit massique . On a alors

Effet Venturi[modifier | modifier le wikicode]

Soit un écoulement possédant un resserrement

Dans l'équation de Bernoulli (→), on a des altitudes égales () et aucun actionneur (). On obtient donc

En utilisant l'équation de conservation du débit, on obtient

Comme on a soit . On voit donc que plus l'écoulement se rétrécit, plus la pression diminue.

Ce résultat contre-intuitif est aussi appelé ``paradoxe de Venturi. Cet effet est pourtant bien réel, c'est notamment lui qui est responsable de l'arrachement des toits des maisons lors des tempêtes, ou bien encore c'est le principe du vol des avions.