Introduction à la Géométrie

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Introduction à la Géométrie est un livre qui permettra de parcourir la géométrie élémentaire telle qu'elle a été étudiée (ou plutôt découverte) par les anciens, mais avec un langage moderne.

Ce texte comprend plusieurs chapitres qui présenteront de façon précise et concise les fondements et les principaux résultats de la géométrie affine, euclidienne et projective. Le contenu et sa présentation sont calqués sur des cours qui sont dispensés durant les trois premières années d'Université en mathématiques et en physique.

Une grande partie de l'approche axiomatique conçue par les grecs (et très particulièrement par Euclide dans ses Eléments) disparaît au détriment d'un langage plus élaboré. L'algèbre linéaire apporte une richesse théorique et une élégance à la présentation qui rendent l'étude de la géométrie affine par moment aussi simple qu'un jeu de manipulations algébriques. Il est important de ne pas perdre de vue les idées géométriques et c'est pour cela que ce texte privilégie par moments plus les idées que le formalisme algébrique (qui est souvent plus un outil de preuve formelle).

La géométrie affine sera présentée en premier lieu en partant d'une présentation générale et abstraite de la notion d'espace affine pour aboutir au principaux théorèmes en dimension 2 et 3 (dans le plan et l'espace affine réel). On verra qu'en géométrie affine seuls les concepts d'alignement et de parallélisme ont un sens. Les concepts de distance et d'angle (et de perpendicularité) nécessitent une structure supplémentaire, une structure dite euclidienne, et seront étudiés dans les chapitres consacrés à la géométrie euclidienne. On profitera alors pour présenter les principaux résultats qui sont les théorèmes de classification des isométries en dimension 2 et 3.

La troisième partie de ce texte (qui n'est pas pour le moins la plus courte), sera consacrée à la géométrie projective. On évitera une approche axiomatique ici pour laisser place à une présentation plus moderne s'appuyant sur l'introduction des espaces projectifs par un processus de complétion des espaces affines. Dans cette partie les principaux résultats seront étudiés pour finir avec une étude détaillée de coniques et quadriques et dimensions 2 et 3.

Prérequis : Algèbre abstraite, Algèbre linéaire et Calcul différentiel et intégral.


Les espaces affines[modifier | modifier le wikicode]

Les espaces euclidiens[modifier | modifier le wikicode]

Classification des isométries en dimension 2 et 3[modifier | modifier le wikicode]

Le plan projectif réel[modifier | modifier le wikicode]

Les espaces projectifs [modifier | modifier le wikicode]

Coniques et Quadriques dans le plan et l'espace projectif[modifier | modifier le wikicode]