Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Préface et introduction

Préface

Ce cours est le contre-pied d'une physique pour les nuls. Le niveau déclaré est propédeutique. Répétons :

«
	La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
	»
	— pseudo-maxime d'Histoire des Sciences

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Voulant poursuivre le travail de Pierre Provost (ancien professeur au lycée Louis-Le-Grand, Paris), ce cours désire faire comprendre en profondeur la mécanique.Il ne s'agira pas tant de formules, mais au contraire de réflexions sur les fondements.

La pensée directrice de ce petit opuscule est claire : éviter le contact abrupt et traumatisant avec le Principe Fondamental de la Dynamique { F = dp/dt = m a} :

Pierre Provost, dans la "Mécanique, présentée autrement" (édition L'Harmattan), défendait la thèse soutenue ici : par définition, F est la cause de dp/dt, cause à trouver expérimentalement, de façon à obtenir des équations différentielles (du second ordre, couplées éventuellement) à résoudre, dont la solution doit être vérifiée par l'expérience. Cette démarche est proche de celle de Newton et de Poincaré.

• Beaucoup d'exercices corrigés permettront aussi d'acquérir un minimum de technicité.

Ces exercices font partie intégrante du cours. Ils sont là pour illustrer le principe Shadok suivant : pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? La réponse est : quand une théorie est juste, TOUT ce qui s'en déduit doit mener à des conclusions auto-cohérentes. La plupart du temps, c'est en confrontant la théorie à ses propres contradictions par des gedanken-experiments que l'on est amené à la récuser : par exemple, Einstein raisonnait souvent ainsi, mais bien d'autres avant lui. On forme ainsi ce qui est le plus important en physique : contre une intuition spontanée (parfois fausse), on parvient à construire un raisonnement éduqué ; ce qui est un des principes formateurs en science. Koyré disait: une théorie même fausse, c'est déjà beaucoup mieux qu'une avant-théorie : on peut la contredire et progresser.

Quelques points qui méritent d'être signalés :

• l'idée non nouvelle que Newton n'a rien inventé[ cf en 2005, diatribes stériles : Poincaré versus Einstein ; car évidemment, il y a TOUJOURS une histoire avant l'histoire]. Newton a magnifiquement remis en forme les postulats de la mécanique (puis il les a largement appliqués à tout ce qui avait déjà été écrit auparavant, y compris par lui-même); il ne s'est crédité lui-même que de l'invention de la Loi de gravitation universelle ( et des théorèmes dits "remarquables" (1685)) et de la compréhension de la force_centripète. Mais ayant écrit ce prodigieux traité que sont les "Principia" (1687), il est de ceux qui ont le plus de distance vis à vis de ces mêmes Principes et même la notion de temps absolu y est discutée ; et nous verrons que c'est l'approche de Laplace, Poincaré et V.I.Arnold qui servira de guide d'enseignement, via la notion d'ESPACE DES PHASES, beaucoup plus que les 3 lois de Newton, difficiles à enseigner.
• la symétrie de Corinne (la transformation dite du temps euclidien en physique théorique : t -> i.t) peu connue, la transmutation de la force de Newton par changement d'échelle de temps (Arnold-Needham vers 1980), une manière assez originale de "transmuter" la loi de Hooke-Hamilton, le droit aux changements d'échelle (surtout ceux symplectiques évidemment).
• la notion d'homogénéité et d'"unités réduites" sera sans cesse utilisée, car elle SIMPLIFIE les calculs, si bien utilisée.

Introduction

Historiquement, la mécanique ne sort pas ex nihilo de la tête d'un mécanicien génial. Les années ont permis de dégager l'essentiel ; mais on peut dire qu'à la fin du XVII^e siècle, on a compris que les phénomènes terrestres ET l'astrophysique se déduisent des mêmes principes et des mêmes lois ; dès lors, la mécanique (science des mouvements) prend son envol grâce au travail gigantesque de Newton (1642-1727)qui publie ses Principia en 1687. Il lui faut bien sûr comprendre-inventer le calcul différentiel et intégral (en anglais : le calculus).

1. La science qui décrit le mouvement s'appelle la Cinématique. En caricaturant, c'est géométrie + temps (Il Saggiatore de Galilée : nul n'entre ici s'il n'a une âme de géomètre). Elle sera plutôt la première partie du cours (on excepte la dynamique du choc : lois empiriques de Huygens(1619-1695)).
2. La science qui décrit comment les forces se compensent pour atteindre un état de non-mouvement s'appelle la Statique (un des grands fondateurs fût Stevin(1548-1620)).
3. Enfin, la Dynamique explique comment la description de ces forces permet de les interpréter comme les Causes du mouvement.

Néanmoins le parcours tortueux d'une science n'est pas celui-là ! et bien se rappeler hélas ceci :

La vérité finit toujours par triompher... ........... (Jan Hus, brûlé vif en 1415, mort cette année-là) ;

Quand ses contradicteurs sont tous morts. ..... (Planck(1858-1947)).

Autant dire, que nous faisons notre cet aphorisme de Faraday(1791-1867):

Ne crois que ce que tu peux vérifier. Sinon, reste sceptique et éveillé.

L'auteur collectif de cet ouvrage désire que cette introduction soit courte : il rend néanmoins un hommage souriant aux préfaces de H. Bouasse, célèbre professeur de Toulouse, auteur d'un traité de physique aussi impressionnant que passionnant (quoique parfois critiquable).

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Quelques titres de leçons

• Expérience fondamentale du tube de Newton : la plus belle du cours de physique élémentaire ; Brunold a dit qu'elle a éveillé plus d'une vocation !

Leçon : La chute libre verticale

• La chute libre

La loi de la chute libre verticale est, avec les conditions initiales { $z_{0}=0m;v_{0}=0m/s$}

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=g<=>v={\frac {dz}{dt}}=gt+0<=>z={\frac {1}{2}}gt^{2}+0t+0<=>v^{2}=2gz$

Énoncé simplifié : loi de Galilée(1564-1642)

Sans perte de généralité. On peut remonter aux conditions initiales (C.I) quelconques : (z_0,v_0) : $z(t)=z={\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+z_{0}$

• Exercices et Solutions : beaucoup , beaucoup sont présentées. Un élève de seconde devra éviter les exercices les plus difficiles, certes !

Leçon : le choc frontal : lois de Huygens(1619-1695)

• Le choc frontal
• Expérience princeps: "le carreau".
• Généralisation ; TP-Cours.
• Chocs inélastiques.
• Résumé

$dansR^{*},[P;-P]_{before}^{*}=[-P;P]_{after}^{*}$

Énoncé simplifié : loi de Huygens(1619-1695)

Si le choc est non -élastique, Loi de Newton : remplacer after[-eP ; eP] avec e coefficient de restitution (inférieur à 1)

• Exercices et Solutions

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Leçon : la chute libre, avec vitesse initiale

• La chute libre, avec vitesse initiale

Reprendre dans la wikipédia, l'article sur parabole de sûreté

• Résumé

${\vec {OM}}={\frac {1}{2}}{\vec {g}}t^{2}+{\vec {V_{0}}}t$

Énoncé : loi de Galilée-Torricelli

$OP=OH\cdot {2 \over (1+\cos \theta )};avecOH:={\frac {V_{0}^{2}}{2g}}$

Énoncé : Parabole de sûreté de Torricelli(1608-1647)

• Exercices et Solutions.

Leçon : chute ralentie le long d'un plan incliné

• La chute ralentie sur plan incliné

• La chute ralentie sur plan incliné (suite)
• Résumé

$g(\alpha )=g\cdot \sin \alpha$

Énoncé : loi des cordes de Galilée(1564-1642)

Leçon : la notion de diagramme horaire 

• Diagramme horaire

reprendre l'article de la WP sur diagramme horaire : Beaucoup d'exemples y sont traités.

• Résumé

${\vec {V}}(t)={\vec {f}}(t)<=>{\vec {OM}}(t)=\int _{0}^{t}{\vec {f}}(u)du$

Énoncé : loi de Torricelli(1608-1647),notation moderne

Leçon : diagramme des espaces; plan de phase

• Plan de phase

reprendre l'article de la WP sur diagramme des espaces

• Résumé

$V(x):={\frac {dx}{dt}}=f_{donnee}(x)<=>t=\int _{0}^{x}{\frac {1}{f(u)}}du$

Énoncé : loi de Torricelli(1608-1647), notation moderne

Et aussi

$V(x):={\frac {dx}{dt}}=f(x)<=>{\frac {1}{2}}V^{2}(x)+(-1)\cdot \int _{0}^{x}f(\xi )d\xi =cste$

Énoncé : 2eme loi de Torricelli(1608-1647), notation moderne

Leçon intermède : la symétrie

• Intermède: la symétrie
• la symétrie de scaling et le théorème du viriel
• exercices
• la symétrie de Corinne

datant sans doute de de Moivre, cette symétrie montre pourquoi changer le champ de pesanteur g en son opposé consiste à changer le temps réel en son imaginaire pur (i.t). Bien plus tard, la notion de "temps euclidien" en physique théorique sera peu ou prou analogue.

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• devoir n°1
• Devoir surveillé 1

Ce devoir fût prévu pour être fait après ces leçons préparatoires à l'étude du principe fondamental de la dynamique. Il n'y a encore pas de temps_dynamique_de_Newton , le temps est juste un paramètre cinématique_unicursal... et il faudra expliquer ce que cela signifie !

Conclusion provisoire

Au-delà du Principe de Torricelli, Huygens, via Descartes, a su dégager l'essence de la dynamique :

Soit un système isolé, composé de deux sous-systèmes S1 et S2. Ils échangent entre eux des descartes [1 descartes = 1 N.s], si bien que l'Impulsion Totale se conserve. Si on connaît le taux horaire d'échange, F2/1 , alors l'équation différentielle d'évolution de S1 sera :

$\ \Delta P_{1}/\Delta t::=F_{2/1}=-\Delta P_{2}/\Delta t$

Énoncé : Définition de Newton(1642-1727)

• Le chapitre de Statique qui suit n'est pas Fondamental, mais permet utilement de se familiariser avec la notion de Forces (en newtons : N), de "moment" de force (en m.N) et surtout avec le travail (en joule : = 1N.m) et le principe des travaux virtuels. On passe trop sous silence l'immense apport de Simon Stevin (1548-1620)dans la statique(1586) et l'hydrostatique(1586).

• Une leçon est difficile : l'inertie à la rotation. S'y révèle le théorème du "moment" cinétique, via l'isotropie de l'espace.

• Puis, la leçon suivante récapitule ce que l'on peut déduire des Principes d'avant 1687.

• La Dynamique s'achève (et commence !) par ce monument que sont les Principia (1687): une fois énoncé le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique), il ne restera plus qu'à développer les calculs (parfois fort astronomiques : de Clairaut ( et Madame LePaute) à Le Verrier ; parfois de subtile analyse : de Poincaré au théorème KAM, notion de chaos déterministe ; plus récemment calcul des trajectoires périodiques d'étoiles type Chenciner-Montgomery).

• Bien sûr on n'oubliera pas la contribution d'Euler-Lagrange.
• Non plus que l'admirable travail d' Hamilton(1805-1865).

La ToC et ses annexes permettront de naviguer aisément dans les chapitres supplémentaires.

• En savoir plus ? Cliquer dans la ToC (Table of Contents)-TdM(Table des Matières) : leçon Remarques-en-vrac.