Mathématiques du traitement du signal/Fonctions de permutation

Fonctions de permutation en informatique

Un petit camarade informaticien me demandait récemment par mail comment comment construire une fonction de permutation (qu'il a appelé valeur complémentaire):

J'ai besoin de tes lumières pour une quest° simple mais q je crois pas pouvoir trouver seul. 
En fait je pense que c'est une équation que j'arrive pas à solutionner .
tu es prêt ?
alors j'ai trois valeurs { 0, 1, 2}
jusque là je pense être clair !
Maintenant il faut que si je prends une valeur de l'ensemble je retombe automatiquement sur les deux autres,
je crois que ça pt s'appeler une valeur complémentaire.

Exemple j'ai 2 valeurs {0, 1}
l'équation complémentaire est 1-X
car 0 donne 1 
et 1 donne 0

Mais avec {0 1 2} je trouve pas
je dirai
2-x
1-x
car le 1 fait bloquer le processus .....
Et je dois trouver un substitut pour un élémen t de détail sur 1 de mes sites . salut

C'est une question suffisamment générique en informatique pour que cela vaille le coup d'y consacrer un peu de place ici.

pour un ensemble de N nombres (ici 3), il te faut N-1 (ici 2) fonctions. Elles doivent toutes être construites sur le même modèle, qui vient du fait que si tu as N-1 nombres $a_{1},a_{2},\dots ,a_{N-1}$ la fonction (c'est un polynôme de degré N-2) :

$F(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{N-1})$ vaut zéro pour tous ces nombres

Pour construire une fonction qui envoie aN sur a1 et tous les autres nombres $(a1,\dots ,a_{N-1})$ sur zéro, il faut prendre la fonction :

$G(x)={F(x) \over F(a_{N})}\,a_{1}$

je vais noter cette fonction $G[a_{N}](x)$ pour nous rappeler qu'elle vaut zéro partout sauf pour $a_{N}$.

de même, la fonction qui envoie a1 sur a2 et tous les autres nombres $(a_{3},\dots ,a_{N})$ sur zéro est :

$G[a_{1}](x)=F[a_{3},\dots ,a_{N}](x)/F[a_{3},\dots ,a_{N}](a_{1})a_{2}$

où j'ai noté $F[a_{3},\dots ,a_{N}](x)=(x-a_{3})(x-a_{4})\ldots (x-a_{N})$ ; maintenant, tu peux remarquer que :

$H(x)=G[a_{1}](x)+G[a_{N}](x)$

vaut zéro partout sauf en $a_{1}$ et en $a_{N}$ (où elle vaut $a_{2}$ et $a_{1}$), voila que ça commence à prendre forme. La formule finale est :

$K(x)=G[a_{1}](x)+G[a_{2}](x)+\ldots +G[a_{N}](x)=\sum _{n=1}^{N}G[a_{n}](x)$

qui vaut $a_{n+1}$ en $a_{n}$ pour tous les n (elle décale tout le monde d'un indice).

si on applique cela à ton problème (mais comme ça tu pourras résoudre n'importe quel problème du genre) :

$\{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{0,1,2\}$

$\left\{{\begin{matrix}F[1,2](x)&=&(x-1)(x-2)\\F[0,2](x)&=&x\,(x-2)\\F[0,1](x)&=&x\,(x-1)\end{matrix}}\right.$

et donc

$\left\{{\begin{matrix}G[0](x)&=&\displaystyle {F[1,2](x) \over F[1,2](0)}\,1&=&{(x-1)\,(x-2) \over 2}\\G[1](x)&=&\displaystyle {F[0,2](x) \over F[0,2](1)}\,2&=&-x\,(x-2)\,2\\G[2](x)&=&\displaystyle {F[0,1](x) \over F[0,1](2)}\,0&=&0\end{matrix}}\right.$

ce qui permet d'écrire :

$K(x)={(x-1)\,(x-2) \over 2}-x\,(x-2)\,2+0$

que tu peux simpifier en $K(x)=(x-2)\,({x-1 \over 2}-2x)$

Cette fonction a bien la propriété d'envoyer 0 sur 1, 1 sur 2 et 2 sur 0.

tu peux obtenir de la même façon une seconde fonction qui envoie 0 sur 2, 1 sur 0 et 2 sur 1, il s'agit de :

$L(x)={F[1,2](x) \over F[1,2](0)}\,2+{F[0,2](x) \over F[0,2](1)}\,0+{F[0,1](x) \over F[0,1](2)}\,1$

et voilà, j'espère que cela répond à ta question et surtout que cela va te permettre de calculer toi même toutes les fonctions de ce genre dont tu auras besoin.