Mathématiques du traitement du signal/Formulaire

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Ce formulaire regroupe des formules utiles.

Inégalités[modifier | modifier le wikicode]

Un poly de référence : Concentration-of-measure inequalities, Gabor Lugosi.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev[modifier | modifier le wikicode]

Une démonstration de 1937.

Inégalité de Markov[modifier | modifier le wikicode]

Soit une varianle aléatoire et un réel :

On peut en déduire que pour toute fonction mesurable monotone croissante à valeurs positives :

ce qui permet d'obtenir une généralisation de Chebychev (citée dans Concentration-of-measure inequalities, Lecture notes by Gabor Lugosi , March 7, 2005):

Le log itéré[modifier | modifier le wikicode]

Inégalité de Bonferroni[modifier | modifier le wikicode]

voir mathworld.wolfram.

Inégalité de Chernoff[modifier | modifier le wikicode]

Soit des réalisations d'une même variable aléatoire de variance . la somme de ces réalisations ; i.e.

Alors, pour tout , on a:


Inégalité d'Efron-Stein[modifier | modifier le wikicode]

Soit 2N réalisations i.i.d. d'une variable aléatoire réelle et une fonction mesurable. On note :

Alors:

Cité par : Concentration inequalities using the entropy method, BOUCHERON, S., LUGOSI, G., MASSART, P. (2003), Ann. of Probability 31 n°3, 1583-1614.

et en notant :


Cité par An application of the Efron-Stein inequality in density estimation, Luc Devroye, Annals of Statistics, vol. 15, pp. 1317-1320, 1987.

Elle est utilisée par exemple pour obtenir les résultats du Bootstrap et Jackknife The Jackknife and Bootstrap, by Jun Shao, p28.

Inégalité de Kolmogorov[modifier | modifier le wikicode]

Soit des réalisations i.i.d. d'une même variable aléatoire d'espérance nulle. la somme de ces réalisations ; i.e.

Alors, pour tout  :

cf PlanetMath.org

Inégalité de Vapink Chervonenkis[modifier | modifier le wikicode]

Inégalité de Burkholder-Rosenthal[modifier | modifier le wikicode]

Approximations[modifier | modifier le wikicode]

Distribution Gaussienne[modifier | modifier le wikicode]

Il y a dans Hull (Options, Futures and Other Derivatives, Fifth Edition ; John C. Hull), page 248, une approximation de la fonction de répartition d'une distribution gaussienne assez pratique : et  ; avec :