Mathc initiation/Fichiers h : c30bep
Apparence
Étude de cas :
Calculons :
n oo
lim (1+1/n) = 1 qui est une limite indéfinie.
n->oo
n
Posons (*) : y = (1+1/n)
Utilisons la fonction ln() pour faire basculer la puissance de n en multiplication.
ln(y) = n ln(1+1/n)
Calculons la limite de ln(y)
lim [n ln(1+1/n)] = oo 0 Qui est indéterminé. (ln(1+0) = 0)
n->oo
Pour utiliser la règle de l'hôpital, il nous faut transformer le produit en un quotient.
Posons n = 1/(1/n)
ln(1+1/n) 0
donc lim --------- = ---
n->oo (1/n) 0
Utilisons la règle de l'hôpital :
1
----- * (-1/n**2)
(1+1/n)
donc lim --------- =
n->oo (-1/n**2)
Simplifions
1
donc lim --------- = 1
n->oo (1+1/n)
Nous avons donc
donc lim ln(y) = 1
n->oo
Soit
ln(y) 1
lim e = e
n->oo
donc lim y = e
n->oo
n
donc (*) lim (1+1/n) = e
n->oo