Mathc initiation/Fichiers h : c80e

Les intégrales

Vérifions cette égalité :

         /    1             1        
        |  --------- dx =  ---  atanh(x/a) + c     (a**2-x**2 => x**2 < a**2)
        /  a**2-x**2        a             
     
                  *****************
     
     posons :
     
        y = atanh(x/a)                             (*)  y = atanh(x/a)
   
   tanh(y) = tanh(atanh(x/a))
   
   
   tanh(y) = (x/a)                                  (**)  tanh(y) = (x/a)
   
   
   tanh(y)' = (x/a)' 

        
                   1
   y' sech(y)**2 = ---
                   a
                                                                                      

             1        1                  
   y' =     ---    ---------             
             a     sech(y)**2

                                       
             1        1                 sec(y)**2+tan(y)**2 =  1
   y' =     ---    -----------          sec(y)**2           =  1-tan(y)**2  
             a     1-tan(y)**2     
                                           
                                                                            
             1        1                 tan(y)    = (x/a)          (**)  tanh(y) = (x/a)
   y' =     ---    ---------            tan(y)**2 = (x/a)**2 
             a     1-(x/a)**2 
   
   
             1   a**2       1
   y' =     ---  ----    --------- 
             a   a**2    1-(x**2/a**2)   
   

             1             a**2
   y' =     ---          --------- 
             a           a**2-x**2      
   
   
                            a 
   y' =                  --------- 
                         a**2-x**2 
                                         
                                                                               
                            a 
   y' =                  --------- 
                         a**2-x**2                                           
                                             
                                             
   /                     /    a 
  | y' dx =             |  --------- dx
  /                     /  a**2-x**2      
  
  
                         /    a 
     y    =             |  ---------  dx 
                        /  a**2-x**2     
  
                                                 (*)  y = atanh(x/a)
                         /    a 
 atanh(x/a)  =          |  --------- dx
                        /  a**2-x**2   
                                    
                                             
   1                     /    1
  ---  atanh(x/a)  =    |  --------- dx
   a                    /  a**2-x**2  
                        
                        
                         /    1             1
                        |  --------- dx =  ---  atanh(x/a) + c     égalité vérifié.
                        /  a**2-x**2        a