Mathc initiation/a000q

Vérifier quelques propriétés mathématiques de trigonométries hyperboliques inverses

Vérifions si : atanh(X) = 1/2 ln((1+X)/(1-X)) ... ... ... -1 < X < 1

  Posons (1) :  Y  = atanh(X)                           (1)
  
  
  Introduisons tanh() :
  
       tanh(Y) = tanh(atanh(X))       
       tanh(Y) = X 
           
              
   Introduisons la définition de tanh(Y) :       
       
       X = tanh(Y) = (exp(Y)-exp(-Y)) / (exp(Y)+exp(-Y))
       
       
   Soit :  

     (X)                    = (exp(Y)-exp(-Y)) / (exp(Y)+exp(-Y))             
     (X)(exp(Y)+   exp(-Y)) = (exp(Y)-exp(-Y))    
     (X) exp(Y)+(X)exp(-Y)  =  exp(Y)-exp(-Y)
     
  
  Multiplions par e**(Y)
  
       (X)exp(2Y)+(X)(1)      =  exp(2Y)-(1) 
            
       (X)exp(2Y)-exp(2Y)+X+1 = 0
       
  Soit : (X-1)exp(2Y)+(X+1) = 0
         (X-1)exp(2Y)       = -(X+1)
  
              exp(2Y) = -(X+1)/(X-1)            
              exp(2Y) =  (1+X)/(1-X)
             
                          
         ln(exp(2Y)) =  ln((1+X)/(1-X))                ln(x^n)     = n*ln(x) 
         
        2 ln(exp(Y)) =  ln((1+X)/(1-X))                ln(e^(2Y)) = 2*ln(e^(Y))         
  
               Y =  1/2 ln((1+X)/(1-X)) 
                                 
                                           
    avec Y  = atanh(X)        voir (1)        
                                   
       atanh(X) =  1/2 ln((1+X)/(1-X))

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