Mathc initiation/a00ad

Sommaire

Résoudre l'équation : 

        y(t)'  +   3 y(t)  =   6          y(0) = 0
     
    
  Utilisons la transformée de Laplace :      
      
      L{y(t)'}     + 3 L{y(t)} = L{6}                   
      
      sY(s) - y(0) + 3  Y(s)   = 6/s      y(0) = 0
      
      sY(s) -   0  +  3 Y(s)   = 6/s
      
                  Y(s) (s + 3) = 6/s 
          
                          Y(s) = 6/s 1/(s + 3)   
          
 
    Utilisons la méthode des fractions partielles. Voir explication Ici
    
           1     6         A        B
    Y(s) = -  -------  =  --- + -------  
           s  (s + 3)      s    (s + 3)
                    
    si s =  0   A =  2                                                                 
    si s = -3   B = -2                                   

    donc
                      
           1     6         2        2
    Y(s) = -  -------  =  --- - -------  
           s  (s + 3)      s    (s + 3)               
                    

    Utilisons la transformée inverse de Laplace : 

                       2            2
     L-1{Y(s))} =  L-1{ - } - L-1{ ------ }  
                       s           s-(-3)   
                               
                 ----------------------- 
                | y(t) = 2 - 2 exp(-3t) |   
                 -----------------------                               
               
               
   Vérifions :
   
        y(t)'          +  3 y(t)           = 6          
        
       (2-2 exp(-3t))' +  3 (2-2 exp(-3t)) = 6
          
          6 exp(-3t)   +  6 - 6 exp(-3t)    = 6 
         
                          6                 = 6