Mathc initiation/a00am

Sommaire

Calculons la primitive :

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Calculer la primitive de  | asinh(x) dx 
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       Utilisons l'intégration par partie
       
        u = ...    dv = ...
       du = ...     v = ...
       
        /              /
       | u dv = u v - | v du
       /              /
       
       Nous savons que la dérivé de asinh(x) est 1/sqrt(1+x**2).
       Nous ne connaissons pas sa primitive. 
       Nous allons multiplier asinh(x) par 1. 
       Nous allons poser que u = asinh(x) et dv = 1 dx.
       
       
        /               
       | (asinh(x)*1) dx = 
       /               
       

        u = asin(x)               dv = 1 dx
       du = 1/sqrt(1+x**2) dx      v = x   
       
       
              u dv              (u*v)    (v *                 du)
        /                               /     
       | (asinh(x)*1) dx = asin(x)*x - | (x * 1/sqrt(1+x**2)) dx
       /                               /
       
 
        /                            /
       | asinh(x) dx = asinh(x) x - | (1/sqrt(1+x**2)  x) dx
       /                            /  

                        _____________________
                        |        u = (1+x**2) |
                        |       du =  2*x dx  |
                        | (1/2) du =    x dx  |
                        |_____________________|
     

        /                             /
       | asinh(x) dx = asinh(x) x -  | 1/sqrt(u) (1/2) du
       /                             /   
       

        /                                  /
       | asinh(x) dx = asinh(x) x - (1/2) | u**(-1/2)  du
       /                                  /


        /                                   
       | asinh(x) dx = asinh(x) x - (1/2) (2/1) u**(1/2) + C
       /                                   
       
        /                                   
       | asinh(x) dx = asinh(x) x -  sqrt(1+x**2) + C
       /