Mathc initiation/a254

Sommaire

Aplication 1 : La Théorie

1 ) Est ce que cette limite existe ?

$\lim _{x\to oo}({\frac {2x-3}{2x+3}})^{x}=$

2 ) Modifions un peu l'équation :

$\lim _{x\to oo}({\frac {2x-3}{2x+3}})^{x}=$ $\lim _{x\to oo}({\frac {2x+3}{2x+3}}+{\frac {-6}{2x+3}})^{x}=$ $\lim _{x\to oo}(1+{\frac {-6}{2x+3}})^{x}=$

3 ) Cette dernière forme pourrait être transformé en une formule qui permet de calculer e : (voir fichier : c01a.c)

$\lim _{x\to oo}(1+{\frac {-6}{2x+3}})^{(}{\frac {2x+3}{-6}})=e$

4 ) Pour retrouver l'équation d'origine il faut introduire cette exponentielle $({\frac {-6x}{2x+3}})$ dans l'équation précédente:

Remarque : $({\frac {2x+3}{-6}})$ $({\frac {-6x}{2x+3}})=x$

Ce qui donne $e^{\frac {-6x}{2x+3}}$

Il faut donc calculer $\lim _{x\to oo}e^{\frac {-6x}{2x+3}}=$ $\lim _{x\to oo}e^{\frac {-6}{2+{\frac {3}{x}}}}=e^{\frac {-6}{2}}=e^{-3}$ (voir fichier : c01b.c)