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Mathc initiation/a613

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Sommaire

Résoudre un sytème d'équations différentielles

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  X_1' + 3 X_1 +   X_2  = e^(-5t)
  X_2' +   X_1 + 5 X_2  = e^(-3t)
  
  
  Avec X_1(0) = 0 et X_2(0) = 0
  
Ecrivons la transformé de Laplace du système :
  
  sx_1(s) + 3x_1(s) +   x_2(s) = 1/(s+5)
  sx_2(s) +  x_1(s) + 5 x_2(s) = 1/(s+3)
  
     (s+3)x_1(s) +      x_2(s) = 1/(s+5) 
          x_1(s) + (s+5)x_2(s) = 1/(s+3)
       
 
 Utilisons l'algorithme de Cramer pour resoudre le système :
 
         |1/(s+5)    1 |   
         |1/(s+3) (s+5)|    1 - 1/(s+3)    ((s+3)-1)/(s+3)        s+2
 x_1(s) = -------------  = ------------ = --------------- = -------------------   
         |(s+3)      1 |   (s+3)(s+5)-1    (s+3)(s+5)-1     (s+3)((s+3)(s+5)-1)
         |   1    (s+5)|


         |(s+3)  1/(s+5)|   
         |   1   1/(s+3)|  1 - 1/(s+5)    ((s+5)-1)/(s+5)        s+4
 x_2(s) = -------------- = ------------ = --------------- = -------------------   
         |(s+3)      1  |  (s+3)(s+5)-1    (s+3)(s+5)-1     (s+5)((s+3)(s+5)-1)
         |   1    (s+5) |
             
             
                s+2
 x_1(s) = -----------------------
          s^3 + 11 s^2+ 38 s + 42 
               
                s+4
 x_2(s) = ------------------------                 
          s^3 + 13 s^2 + 54 s + 70
          
          

Méthodes pour les fractions partielles pour x_1(s) avec octave

                s+2                  N
 x_1(s) = -----------------------  = -
          s^3 + 11 s^2+ 38 s + 42    D
 
Commande : 
 
N = [1,2];
D = [1,11,38,42];
[r, p, k, e] = residue (N, D)

Résultat

   r = [-0.5000,  1.0000, -0.5000]  Numérateur
   p = [-5.4142, -3.0000, -2.5858]  Dénominateur (s-p)
   k = [](0x0)
   e = [ 1, 1, 1]                  Puissance de (s-p)^e

                s+2                       -0.5        1.0         -0.5
 x_1(s) = -----------------------  =  ----------- + --------  + -----------
          s^3 + 11 s^2+ 38 s + 42     s-(-5.4142)   s-(-3.0)    s-(-2.5858)


  Utilisons la méthode inverse de la transformé de Laplace            

 X_1(t) = -0.5*exp(-5.4142*t) + exp(-3*t)- 0.5*exp(-2.5858*t)

 
Méthodes pour les fractions partielles pour x_2(s) avec octave

                s+4
 x_2(s) = ------------------------                 
          s^3 + 13 s^2 + 54 s + 70
          

Commande : 
 
N = [1,4];
D = [1,13,54,70];
[r, p, k, e] = residue (N, D)

Résultat

   r = [-1.2071,  1.0000,  0.2071]  Numérateur
   p = [-5.4142, -5.0000, -2.5858]  Dénominateur (s-p)
   k = [](0x0)
   e = [ 1, 1, 1]                  Puissance de (s-p)^e
                  
          
             s+4                        -1.2071       1.0000      0.2071
 x_2(s) = ------------------------  =  ----------- + --------  + -----------                
          s^3 + 13 s^2 + 54 s + 70     s-(-5.4142)   s-(-5.0)    s-(-2.5858)                 
       

  Utilisons la méthode inverse de la transformé de Laplace 

 X_2(t) = -1.2071*exp(-5.4142*t) + exp(-5*t)- 0.2071*exp(-2.5858*t)       
   
   
 Dessiner les fonctions  X_1(t) et X_2(t) 
 
 plot [-.5:10] [-.5:.1]\
 -0.5*exp(-5.4142*x) + exp(-3*x)- 0.5*exp(-2.5858*x),\
 -1.2071*exp(-5.4142*x) + exp(-5*x)- 0.2071*exp(-2.5858*x)
  
 reset   

.