Propriétés métriques des droites et plans

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En géométrie élémentaire ou géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit vecteur normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui séparent deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0 où (u , v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0 où (u, v, w) est différent de (0, 0, 0)

La droite dans le plan euclidien[modifier | modifier le wikicode]

Vecteur normal à une droite[modifier | modifier le wikicode]

Soit un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

et un point spécifique de (D), On a :

En retranchant (2) à (1) on obtient :

En notant , le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

La droite d'équation est donc orthogonale au vecteur . Le vecteur est appelé un vecteur normal à la droite (D).

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné[modifier | modifier le wikicode]

Soit un point et un vecteur non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par et orthogonale à , si et seulement si :

La droite (D), passant par et orthogonale à , a donc pour équation :

Distance algébrique d'un point M(x, y) à une droite d'équation ux + vy + h = 0[modifier | modifier le wikicode]

Soit H le projeté de sur (D) avec orthogonal à (D).

La droite perpendiculaire à (D) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur , on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :

En valeur absolue:

.

Droite et pente[modifier | modifier le wikicode]

Pour v non nul, la droite (D) d'équation possède une équation sous la forme avec

et

La pente d'une droite est le réel

L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite (D).

Équation normale d'une droite[modifier | modifier le wikicode]

Dans le repère ,notons un vecteur unitaire normal à la droite (D), orienté de O vers (D), la valeur φ représente alors l'angle . On note d'autre part la distance entre l'origine O du repère et la droite (D).

L'équation (1) s'écrit :

Angles de deux droites[modifier | modifier le wikicode]

Soit (D) et (D') deux droites d'équations

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

La droite dans l'espace euclidien[modifier | modifier le wikicode]

Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Cas où la droite est définie par un point M0 et un vecteur non nul[modifier | modifier le wikicode]

La distance MH est donnée par

Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans[modifier | modifier le wikicode]

Le plan Q perpendiculaire à P1 appartient au faisceau de plans P1 + λP2 = 0.

Le plan Q sera perpendiculaire à P1 pour .

Soit H1, HQ et H les projections orthogonales du point M respectivement sur P1, Q et (D). On en déduit .

On calculera et comme détaillé au chapitre « Distance algébrique d'un point à un plan » ci dessous.

Droites orthogonales à un plan[modifier | modifier le wikicode]

Le plan étant défini par l'équation , les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites de vecteur directeur . Une droite (D) passant par le point et perpendiculaire à a pour équations :

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des des réels est nul, par exemple u= 0, le système devient :

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

Distance entre deux droites quelconque de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Soient la droite (D0) passant par et de direction le vecteur et (D1) la droite passant par et de direction .

Si les vecteurs et sont indépendants, le volume du solide construit sur est égal à . Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

.

L'aire de la base du solide est donnée par

tel que

La distance entre les deux droites est alors égale à .

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M1 de la droite (D0).

Le plan dans l'espace euclidien[modifier | modifier le wikicode]

Vecteur orthogonal à un plan[modifier | modifier le wikicode]

Soit M(x, y, z) un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

Pour un point spécifique de P on obtient :

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

En notant , le vecteur de composantes , on exprime (1bis) comme suit :

Le plan P d'équation est donc orthogonal au vecteur et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné[modifier | modifier le wikicode]

Soit un point et un vecteur non nul. Le point M appartient au plan P, passant par et orthogonal à , si et seulement si :

Le plan P, passant par et orthogonal à , a donc pour équation : :

Angles de deux plans[modifier | modifier le wikicode]

Soient P et P' deux plans d'équations

L'angle géométrique est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux

Plans perpendiculaires[modifier | modifier le wikicode]

Les plan P et P' sont perpendiculaires si les vecteurs normaux et sont orthogonaux. Ce qui implique

Distance algébrique d'un point M(x, y, z) à un plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0[modifier | modifier le wikicode]

Soit H la projeté de sur P avec orthogonal à P.

La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur , on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :

En valeur absolue:

.

Équation de plan et déterminant[modifier | modifier le wikicode]

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires[modifier | modifier le wikicode]

Soient un point et deux vecteurs et non colinéaires. Un point M(x, y, z) appartient au plan P passant par et de directions et si et seulement s'il existe deux réels λ et μ tels que . Cette égalité exprime que , et \vec \mathrm{V}_2</math> sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

Son équation est :

que l'on peut écrire sous la forme

Plan défini par deux points et un vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Soient deux points et et un vecteur non colinéaire à .

Le point M appartient au plan passant par , et de direction si et seulement si les trois vecteurs : sont coplanaires, donc :

Son équation est :

Plan défini par trois points non alignés[modifier | modifier le wikicode]

Soient , trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, L'équation du plan passant par ces trois point est

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]