Propriétés métriques des droites et plans

En géométrie élémentaire ou géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit vecteur normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui séparent deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0 où (u , v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0 où (u, v, w) est différent de (0, 0, 0)

La droite dans le plan euclidien

Vecteur normal à une droite

Soit $\mathrm {M} (x,y)$ un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

$(1)\qquad ux+vy+h=0\,$

et $\mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0})$ un point spécifique de (D), On a :

$(2)\qquad ux_{0}+vy_{0}+h=0\,$

En retranchant (2) à (1) on obtient :

$u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0\,$

En notant ${\vec {\mathrm {N} }}$, le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

${\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M} }}=0$

La droite d'équation $ux+vy+h=0$ est donc orthogonale au vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}$. Le vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}$ est appelé un vecteur normal à la droite (D).

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné

Soit un point $\mathrm {M} (x,y)$ et un vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}$ non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par $\mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0})$ et orthogonale à ${\vec {\mathrm {N} }}$, si et seulement si  :

${\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M} }}=0$

La droite (D), passant par $\mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0})$ et orthogonale à ${\vec {\mathrm {N} }}$, a donc pour équation :

$u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0\,$

Distance algébrique d'un point M(x, y) à une droite d'équation ux + vy + h = 0

Soit H le projeté de $\mathrm {M} (x,y)$ sur (D) avec ${\overrightarrow {\mathrm {HM} }}$ orthogonal à (D).

La droite perpendiculaire à (D) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}$, on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :

$d_{a}(\mathrm {H} ,\mathrm {M} )={\frac {ux+vy+h}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}$

En valeur absolue:

$\|{\overrightarrow {\mathrm {HM} }}\|={\frac {|ux+vy+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}$.

Droite et pente

Pour v non nul, la droite (D) d'équation $ux+vy+h=0$ possède une équation sous la forme $mx+b=y$ avec

$m=-{\frac {u}{v}}$

et

$b=-{\frac {h}{v}}$

La pente d'une droite est le réel

$m=\tan(\alpha )\,$

L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite (D).

Équation normale d'une droite

Dans le repère $\scriptstyle (\mathrm {O} ,{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})$,notons $\scriptstyle {\vec {\mathrm {N} }}(\cos \varphi ,\sin \varphi )$ un vecteur unitaire normal à la droite (D), orienté de O vers (D), la valeur φ représente alors l'angle $\scriptstyle ({\vec {\imath }},{\vec {\mathrm {N} }})$. On note d'autre part $p$ la distance entre l'origine O du repère et la droite (D).

L'équation (1) s'écrit :

$x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0$

Angles de deux droites

Soit (D) et (D') deux droites d'équations

$(\mathrm {D} ):ux+vy+h=0\,$

$(\mathrm {D'} ):u'x+v'y+h'=0\,$

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

$\tan(\mathrm {D} ,\mathrm {D'} )=\tan({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} '}})={\frac {uv'-u'v}{uu'+vv'}}$

La droite dans l'espace euclidien

Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace

Cas où la droite est définie par un point M₀ et un vecteur ${\vec {\mathrm {V} }}$ non nul

La distance MH est donnée par

$\mathrm {MH} ={\frac {\|{\overrightarrow {\mathrm {MM} _{0}}}\wedge {\vec {\mathrm {V} }}\|}{\|{\vec {\mathrm {V} }}\|}}$

Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans

$\mathrm {P} _{1}=u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0\,$

$\mathrm {P} _{2}=u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0\,$

Le plan Q perpendiculaire à P₁ appartient au faisceau de plans P₁ + λP₂ = 0.

Le plan Q sera perpendiculaire à P₁ pour $\lambda ={\frac {-(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2})}{u_{1}u_{2}+v_{1}v_{2}+w_{1}w_{2}}}\,$.

Soit H₁, H_Q et H les projections orthogonales du point M respectivement sur P₁, Q et (D). On en déduit $\mathrm {MH} ^{2}=\mathrm {MH} _{1}^{2}+\mathrm {MH_{Q}} ^{2}\,$ .

On calculera $\mathrm {MH} _{1}\,$ et $\mathrm {MH_{Q}} \,$ comme détaillé au chapitre « Distance algébrique d'un point à un plan » ci dessous.

Droites orthogonales à un plan

Le plan étant défini par l'équation $ux+vy+wz+h=0$, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites de vecteur directeur ${\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\\\ w\end{pmatrix}}$. Une droite (D) passant par le point $\mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et perpendiculaire à $[\mathrm {P} ]:ux+vy+wz+h=0$ a pour équations :

${\frac {x-x_{0}}{u}}={\frac {y-y_{0}}{v}}={\frac {z-z_{0}}{w}}$

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des des réels est nul, par exemple u= 0, le système devient :

$x=x_{0}\qquad {\frac {y-y_{0}}{v}}={\frac {z-z_{0}}{w}}$

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

$x=x_{0}\qquad y=y_{0}$

Distance entre deux droites quelconque de l'espace

Soient la droite (D₀) passant par $\mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et de direction le vecteur ${\vec {\mathrm {V} }}_{0}{\begin{pmatrix}a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}}$ et (D₁) la droite passant par $\mathrm {M} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ et de direction ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}{\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\end{pmatrix}}$.

Si les vecteurs ${\vec {\mathrm {V} }}_{0}$ et ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}$ sont indépendants, le volume du solide construit sur ${\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M_{1}} }},{\vec {\mathrm {V} }}_{0},{\vec {\mathrm {V} }}_{1}$ est égal à $|k|$. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

$k=({\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M_{1}} }},{\vec {\mathrm {V} }}_{0},{\vec {\mathrm {V} }}_{1})$.

L'aire de la base du solide est donnée par

$\|{\vec {\mathrm {W} }}\|$ tel que ${\vec {\mathrm {W} }}={\vec {\mathrm {V} _{0}}}\wedge {\vec {\mathrm {V} _{1}}}$

La distance entre les deux droites est alors égale à $d={\frac {|k|}{\|{\vec {\mathrm {W} }}\|}}$.

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M₁ de la droite (D₀).

Le plan dans l'espace euclidien

Vecteur orthogonal à un plan

Soit M(x, y, z) un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

$(1bis)\qquad ux+vy+wz+h=0$

Pour $\mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ un point spécifique de P on obtient :

$(2bis)\qquad ux_{0}+vy_{0}+wz_{0}+h=0$

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

$u(x-x_{0})+v(y-y_{0})+w(z-z_{0})=0\,$

En notant ${\vec {\mathrm {N} }}$, le vecteur de composantes ${\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}$, on exprime (1bis) comme suit :

${\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M} }}=0$

Le plan P d'équation $ux+vy+wz+h=0$ est donc orthogonal au vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}$ et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné

Soit un point $\mathrm {M} (x,y,z)$ et un vecteur $\scriptstyle {\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}$ non nul. Le point M appartient au plan P, passant par $\mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},y_{0})$ et orthogonal à $\scriptstyle {\vec {\mathrm {N} }}$, si et seulement si  :

${\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M} }}=0$

Le plan P, passant par $\mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et orthogonal à $\scriptstyle {\vec {\mathrm {N} }}$, a donc pour équation : :

$u(x-x_{0})+v(y-y_{0})+w(z-z_{0})=0\,$

Angles de deux plans

Soient P et P' deux plans d'équations

$\mathrm {P} :ux+vy+wz+h=0\,$

$\mathrm {P'} :u'x+v'y+w'z+h'=0\,$

L'angle géométrique $(\mathrm {P} ,\mathrm {P'} )$ est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux $({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N'} }})$

$\cos(\mathrm {P} ,\mathrm {P'} )=|\cos({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N'} }})|={\frac {|uu'+vv'+ww'|}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}+w'^{2}}}}}$

Plans perpendiculaires

Les plan P et P' sont perpendiculaires si les vecteurs normaux ${\vec {\mathrm {N} }}$ et ${\vec {\mathrm {N'} }}$ sont orthogonaux. Ce qui implique

$uu'+vv'+ww'=0\,$

Distance algébrique d'un point M(x, y, z) à un plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0

Soit H la projeté de $\mathrm {M} (x,y,z)$ sur P avec ${\overrightarrow {\mathrm {HM} }}$ orthogonal à P.

La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur $\scriptstyle {\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}$, on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :

$d_{a}(\mathrm {H} ,\mathrm {M} )={\frac {ux+vy+wz+h}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}$

En valeur absolue:

$\|{\overrightarrow {\mathrm {HM} }}\|={\frac {|ux+vy+wz+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}$

.

Équation de plan et déterminant

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

Soient un point $\mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et deux vecteurs ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}$ et ${\vec {\mathrm {V} }}_{2}$ non colinéaires. Un point M(x, y, z) appartient au plan P passant par $\mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et de directions ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}$ et ${\vec {\mathrm {V} }}_{2}$ si et seulement s'il existe deux réels λ et μ tels que ${\overrightarrow {\mathrm {MM} _{0}}}=\lambda {\vec {\mathrm {V} }}_{1}+\mu {\vec {\mathrm {V} }}_{2}$. Cette égalité exprime que ${\overrightarrow {\mathrm {MM} _{0}}}$, ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}$ et \vec \mathrm{V}_2</math> sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

$\det({\overrightarrow {\mathrm {MM} _{0}}},{\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a_{1},b_{1},c_{1}),{\vec {\mathrm {V} }}_{2}(a_{2},b_{2},c_{2}))=0$

Son équation est :

${\begin{vmatrix}x-x_{0}&a_{1}&a_{2}\\y-y_{0}&b_{1}&b_{2}\\z-z_{0}&c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}=(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})(x-x_{0})+(c_{1}a_{2}-a_{1}c_{2})(y-y_{0})+(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})(z-z_{0})=0$

que l'on peut écrire sous la forme $ux+vy+wz+h=0$

Plan défini par deux points et un vecteur

Soient deux points $\mathrm {M} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ et $\mathrm {M} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ et un vecteur ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ non colinéaire à ${\overrightarrow {\mathrm {M_{1}M_{2}} }}$.

Le point M appartient au plan passant par $\mathrm {M} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$, $\mathrm {M} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ et de direction ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ si et seulement si les trois vecteurs : ${\overrightarrow {\mathrm {M_{1}M} }},{\overrightarrow {\mathrm {M_{2}M_{1}} }},{\vec {\mathrm {V} }}$sont coplanaires, donc :

$\det({\overrightarrow {\mathrm {M_{1}M} }},{\overrightarrow {\mathrm {M_{2}M_{1}} }},{\vec {\mathrm {V} }})=0$

Son équation est :

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}&a\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}&b\\z-z_{1}&z_{2}-z_{1}&c\end{vmatrix}}=0$

Plan défini par trois points non alignés

Soient $\mathrm {M} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),\mathrm {M} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),\mathrm {M} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3})$, trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, L'équation du plan passant par ces trois point est

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{2}\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}&y_{3}-y_{2}\\z-z_{1}&z_{2}-z_{1}&z_{3}-z_{2}\end{vmatrix}}=0$

Voir aussi

• Géométrie descriptive