Python pour le calcul scientifique/Algèbre linéaire

Rappelons que dorénavant les programmes commencent tous par :

#!/usr/bin/python3

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

L'algèbre linéaire consiste essentiellement en la manipulation de matrices.

Pour plus de détails voir : Python pour le calcul scientifique/Manipulation de matrices.

Modules à utiliser

Deux modules fournissent les fonctions utiles pour l'algèbre linéaire : numpy.linalg et scipy.linalg. Le module SciPy est plus complet et est parfois plus rapide que le module NumPy. Nous considérons donc que nous utilisons le premier et ajoutons en en-tête :

from scipy import linalg

Norme et déterminant

La norme « classique » s'obtient par linalg.norm() ; pour les vecteurs, il s'agit de la norme d'ordre 2 (L2) et pour les matrice, la norme de Frobénius

A = np.array([[1,2],[3,4]])
linalg.norm(A) # 5.4772...

Pour les vecteurs, on peut utiliser une norme d'ordre n quelconque, $\|x\|=\left(\sum _{i}|x_{i}|\right)^{1/n}$ avec

linalg.norm(x, n)

Si n prend pour valeur inf, cela renvoie max(|x_i|) ; pour valeur -inf, min(|x_i|).

Pour une matrice, les valeurs d'ordre possibles sont ±1, ±2, ±inf et "fro" (pour Frobenius, valeur par défaut).

Le déterminant s'obtient avec

linalg.det(A)

Résolution d'un système linéaire

Un système linéaire d'équations peut se représenter par une équation matricielle :

${\begin{cases}a_{1}\cdot x+b_{1}\cdot y=_{c}1\\a_{2}\cdot x+b_{2}\cdot y=c_{2}\\\end{cases}}\Leftrightarrow \mathrm {A} \cdot \mathrm {X} =b$

avec

$\mathrm {A} ={\begin{Bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{Bmatrix}};\mathrm {X} ={\begin{Bmatrix}x\\y\end{Bmatrix}};b={\begin{Bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{Bmatrix}}$

Si le système possède une solution, alors la matrice A est inversible et le résultat peut s'obtenir par :

$\mathrm {X} =\mathrm {A} ^{-1}\cdot b$

En Python, cela peut s'obtenir de deux manières :

• X = linalg.inv(A).dot(b) ;
• X = linalg.solve(A, b) ;

la seconde méthode étant plus rapide.

Par exemple, pour résoudre le système

${\begin{cases}x+2\cdot y=5\\3\cdot x+4\cdot y=6\\\end{cases}}$

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[5], [6]])
X = linalg.solve(A, b)
print(X)
# [[-4. ]
# [ 4.5]]

Notes et références

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Régression et optimisation < ↑ > Calcul différentiel et intégral