Rappels d'algèbre linéaire

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Espace quotient[modifier | modifier le wikicode]

Relations, relations d'équivalence[modifier | modifier le wikicode]

Définitions . Soit un ensemble. Une relation sur est une partie de . Si , on écrit , et on dit que et sont en relation par . Une relation peut être :

  • réflexive si
  • symétrique si
  • transitive si
  • antisymétrique si

Une relation d'équivalence est une relation réflexive, transitive et symétrique. Une relation d'ordre est une relation réflexive, transitive et antisymétrique.

Remarques Une relation d'équivalence généralise l'égalité qui est la relation d'équivalence la plus fine (pour toute relation d'équivalence on a par réflexivité).

Exemples

  • Le parallélisme est une relation d'équivalence sur l'ensemble des droites du plan.
  • Si est un sous groupe de alors si pour , on écrit alors est une relation d'équivalence sur .
  • L'ordre usuel () sur , sur , sur ou sur sont des relations d'ordre.
  • Si est un ensemble, la relation définie sur (l'ensemble des parties de ) est une relation d'ordre.

Définition Soit un ensemble muni d'une relation d'équivalence . Soit dans , on appelle classe d'équivalence de selon et on note (ou bien ou si il n'y a pas ambiguité sur la relation) l'ensemble de tous les éléments de -équivalent à ,i.e. . On dit classe selon , ou classe sous ou classe modulo .

Partitions[modifier | modifier le wikicode]

Définition. Soit un ensemble. On appelle partition de une famille de sous-ensembles non-vides de telle que :

Exemples

  • L'ensemble des intervalles réels pour forme une partition de l'ensemble des réels positifs ou nuls.
  • Si est un groupe et est un sous-groupe de , posons, pour , . Alors la famille est une partition de .

Propriétés Un premier résultat (facile à vérifier) est le suivant :

Pour toute relation d'équivalence , l'ensemble de toutes les classes d'équivalences forme une partition de . Réciproquement tout partition de permet de définir une relation d'équivalence par .


Remarque Il en découle qu'une classe est totalement définie par n'importe lequel de ses éléments. On parle alors de représentant de la classe. L'ensemble de toutes les classes d'équivalences est appelé quotient de par . Pour plus de commodité chaque élément de est représenté par un de ses représentants.

Exemple Si est un groupe et en est un sous-groupe, les classes pour la relation sont les .

Quotients[modifier | modifier le wikicode]

Définition Soit un ensemble et une relation sur . On définit le quotient de par , que l'on note , comme l'ensemble des classes modulo .