Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Fonctions usuelles

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Généralités[modifier | modifier le wikicode]

Notions d'injection, de surjection et de bijection[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

  • On dit que la fonction est injective si :
  • On dit que la fonction est surjective si :
  • On dit que la fonction est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, donc si :

Bijection réciproque[modifier | modifier le wikicode]

  • Si est bijective, on appelle bijection réciproque de l'application
    est l'unique antécédent de par .

Continuité[modifier | modifier le wikicode]

  • Soit et une fonction. On dit que est continue en si
  • De manière équivalente, est continue en si et seulement si, pour toute suite qui converge, la suite converge vers .

Dérivabilité[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

  • On dit que est dérivable en si existe.
    Dans ce cas, on note ce nombre réel appelé le nombre dérivé de en .
  • On dit que est dérivable sur un intervalle si est dérivable en tout point de .
    Dans ce cas, on appelle dérivée de la fonction .

Dérivée d'une composée de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

  • Soit une fonction où est un intervalle tel que .
  • Si est dérivable sur et dérivable sur , alors :
    est dérivable sur et

Dérivée de la réciproque d'une fonction[modifier | modifier le wikicode]

  • Soit une fonction continue strictement monotone.
    • Si est dérivable en , est dérivable au point si et seulement si , et on a alors :
    • Si est dérivable sur et , alors est dérivable sur et .

Propriétés utiles sur les variations[modifier | modifier le wikicode]

Variations de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

  • On dit que est croissante si :
  • On dit que est strictement croissante si :
  • On dit que est décroissante si :
  • On dit que est strictement décroissante si :

Cas de stricte monotonie[modifier | modifier le wikicode]

  • Si est strictement monotone, alors est injective.
  • En particulier, si elle est continue, est bijective.
  • De plus, est strictement monotone de même sens que .

Théorème[modifier | modifier le wikicode]

  • Soit une fonction continue strictement monotone. Alors :
    • est un intervalle,
    • est une bijection de sur ,
    • est continue et strictement monotone de même sens que .


Bijections réciproques des fonctions trigonométriques[modifier | modifier le wikicode]

Tableau récapitulatif
Domaine de définition Domaine d'arrivée Domaine de dérivabilité Dérivée Parité Autres infos Graphe
paire
ni paire,
ni impaire !
impaire
impaire
impaire
impaire