Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Groupes, anneaux, corps

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Groupes[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Un groupe est un couple formé par un ensemble et une loi vérifiant :

  • est une loi de composition interne sur
  • est une loi associative sur
  • a un élément neutre dans
  • Tout élément de est symétrisable pour la loi

Caractérisation d'un sous-groupe[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit un groupe. est un sous-groupe de (pour la loi induite par sur ) si :


  2. Soit un groupe. est un sous-groupe de (pour la loi induite par sur ) si :

Homomorphisme de groupes[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

  • Soit et deux sous-groupes. On dit qu'une application est un homomorphisme de groupe si : .

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Anneaux[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Un anneau est un triplet est un ensemble muni de 2 lois de composition interne vérifiant :

  • a une structure de groupe commutatif (dont l'élément neutre sera noté )
  • une multiplication qui est :
    • interne
    • associative
    • à élément neutre noté (supposé différent de )
    • distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition :

Caractérisation d'un sous-anneau[modifier | modifier le wikicode]

  1. L'ensemble est un sous-anneau de (pour les lois induites et ) si :

Corps[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Un corps est un anneau commutatif dans lequel tous les éléments autres que sont inversibles pour la loi .

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

  • , et sont des corps.

Caractérisation d'un sous-corps[modifier | modifier le wikicode]

est un sous-corps de si :