Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Calcul intégral

Si $f$ est une fonction définie sur $[a,b]$ , où $\scriptstyle a\in \mathbb {R}$ et $\scriptstyle b\in \mathbb {R}$ :
on appelle $\scriptstyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ la somme algébrique des aires situées entre les droites verticales $x=a$ , $x=b$ , l'axe $\scriptstyle (O,{\vec {i}})$ et la courbe $\scriptstyle {\mathcal {C}}\!f$ .

$\forall c\in [a,b]~:~\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{c}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{c}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$

Si $f$ est une fonction paire, alors : $\int _{-a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=2\int _{0}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t$

Linéarité de l'intégrale :
- si $f$ et $g$ sont définies sur $[a,b]$ : $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}(f(t)+g(t))\,\mathrm {d} t$
- si $\scriptstyle \lambda \in \mathbb {R}$ , alors : $\int _{a}^{b}[\lambda \cdot f(t)]\,\mathrm {d} t=\lambda \cdot \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$

$\int _{a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0$
$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$

Si $\scriptstyle f(x)\leqslant g(x)$ sur $[a,b](a<b)$
alors $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leqslant \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x$

Si $\scriptstyle \forall x\in [a,b]$ , on a : $m\leqslant f(x)\leqslant M$
alors $m(b-a)\leqslant \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leqslant M(b-a)$

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ , on peut définir la fonction $F(x)={\scriptstyle \int }_{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ de telle sorte que $F$ soit dérivable et $F'(x)=f(x)\;\forall x\in [a,b]$ . De plus, $F(a)=0$ .
La fonction $F$ est alors l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $x=a$ .

Si $F$ est une fonction dérivable sur $[a,b]$ et si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in [a,b]$ , alors $f$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$ .

Si $F$ et $G$ sont 2 primitives d'une même fonction $f$ sur $[a,b]$ alors $F$ et $G$ diffèrent d'une constante, c'est-à-dire qu'il existe $\lambda \in \mathbb {R}$ tel que $\forall x\in [a,b]~:~F(x)-G(x)=\lambda .$

Réciproquement, si $F$ et $G$ sont dérivables sur $[a,b]$ et diffèrent d'une constante sur $[a,b]$ , alors $F$ et $G$ sont primitives d'une même fonction $f$ sur $[a,b]$ , qui n'est autre que leur dérivée.

Une même fonction $f$ admet une infinité de primitives sur $[a,b]$ mais ces primitives diffèrent les unes des autres par des constantes.

Si $\scriptstyle h(x)=\mu \,g(x)$ (où $\scriptstyle \mu \in \mathbb {R}$ ), alors $\scriptstyle H(x)=\mu \,G(x)+\lambda$

Primitives à connaître
Validité	$f$	$F$
$n\;\in \;\mathbb {R} \setminus \{-1\}$	$\displaystyle x^{n}$	$\displaystyle {\frac {x^{n+1}}{n+1}}+\lambda$
cas particulier $n=-1$	$\displaystyle {\frac {1}{x}}$	$\displaystyle \ln \|x\|+\lambda$
	$\displaystyle \sin x$	$\displaystyle -\cos x+\lambda$
	$\displaystyle \cos x$	$\displaystyle \sin x+\lambda$
	$\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$	$\displaystyle \tan x+\lambda$
	$\displaystyle e^{x}$	$\displaystyle e^{x}+\lambda$
	$\displaystyle \sin(ax+b)$	$\displaystyle -{\frac {1}{a}}\cdot \cos(ax+b)+\lambda$
	$\displaystyle \cos(ax+b)$	$\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot \sin(ax+b)+\lambda$
	$\displaystyle e^{ax+b}$	$\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}+\lambda$

Validité	$f$	$F$
$\scriptstyle n\;\in \;\mathbb {R} \setminus \{-1\}$ $u{\text{ dérivable}}$	$\displaystyle u'\cdot u^{n}$	$\displaystyle {\frac {u^{n+1}}{n+1}}+\lambda$
$u{\text{ dérivable}}$ $u\neq 0$	$\displaystyle {\frac {u'}{u}}$	$\displaystyle \ln \|u\|+\lambda$
$u{\text{ dérivable}}$	$\displaystyle u'\cdot e^{u}$	$\displaystyle e^{u}+\lambda$

Théorème fondamental de l'analyse (version équivalente): si $f$ est une fonction admettant $F$ pour primitive, alors $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$ .

Formule d'intégration par parties : si $u$ et $v$ sont deux fonctions pour lesquelles les expressions suivantes ont un sens, alors $\int _{a}^{b}uv'=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'v$ .