Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Complexes et géométrie

Module et argument d'un nombre complexe

• Si $\scriptstyle M\left({x \atop y}\right)$ ds le repère $\scriptstyle (O,{\vec {u}},{\vec {v}})$ alors : $\scriptstyle M(\rho ,\theta )$ en coordonnées polaires, tel que :
  ${\begin{cases}\rho =|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\x=\rho \,cos\theta \\y=\rho \,sin\theta \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\rho =|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\cos\theta ={\frac {x}{|z|}}\\sin\theta ={\frac {y}{|z|}}\end{cases}}$

$z{\text{ imaginaire pur}}\Leftrightarrow argz={\frac {\pi }{2}}[2\pi ]{\text{ ou }}argz={\frac {-\pi }{2}}[2\pi ] \atop \textstyle \qquad \qquad \qquad \qquad ~z=iy(y\in \mathbb {R} ^{+*}){\text{ ou }}z=iy(y\in \mathbb {R} ^{-*})$

$z{\text{ est un réel non nul}}\Leftrightarrow argz=0[2\pi ]{\text{ ou }}argz=\pi [2\pi ] \atop \textstyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad z\in \mathbb {R} ^{+*}{\text{ ou }}z\in \mathbb {R} ^{-*}$

• Attention ! 0 n'a pas d'argument !

• $z=\rho (cos\theta +isin\theta )~{\text{ avec }}\rho =|z|{\text{ et }}\theta =arg(z)$
  C'est l'écriture trigonométrique du nombre complexe $z$.

• Deux complexes conjugués ont même module et des arguments opposés.
  $|{\bar {z}}|=|z|{\text{ ou }}arg(|{\bar {z}}|)=-arg(z)\;[2\pi ]$

• $arg({\frac {z'}{z}})=argz'-argz[2\pi ]$
  $|{\frac {z'}{z}}|={\frac {|z'|}{|z|}}\quad ({\text{avec }}z'\neq 0{\text{ et }}z'\neq 0)$

• $A(z_{A})$ et $B(z_{B})$, alors l'affixe du vecteur ${\vec {AB}}$, notée $z_{\vec {AB}}=z_{B}-z_{A}$
  • $|z_{B}-z_{A}|=AB$
  • $\arg(z_{B}-z_{A})=({\vec {u}},{\vec {AB}})\ [2\pi ]$

• $\arg({\frac {z_{B}-z_{A}}{z_{D}-z_{C}}})=({\vec {CD}},{\vec {AB}})\ [2\pi ]$

Ecriture exponentielle d'un nombre complexe

• ${\text{si }}\rho =|z|{\text{ et }}\theta =\arg(z)\ [2\pi ]$
  ${\text{alors }}z=\rho \cdot e^{i\theta }$

• ${\bar {z}}=\rho \,e^{-i\theta }$

Transformations et complexes

• Translation de vecteur ${\vec {v}}$ : $\displaystyle z'=z+v$

• Symétrie d'axe $(O,{\vec {u}})$ : $\displaystyle z'={\bar {z}}$

• Symétrie de centre $O$ : $\displaystyle z'=-z$

• Homothétie de centre $\Omega (\omega )$ et de rapport $k$ : $\displaystyle z'-\omega =k(z-\omega )$

• Rotation de centre $\Omega (\omega )$ et d'angle $\theta$ : $\displaystyle z'-\omega =(z-\omega )\cdot e^{i\theta }$