Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Limites et continuité

Indéterminations

• Pour une fonction rationnelle, en $\scriptstyle +\infty$ et en $\scriptstyle -\infty$, il suffit de prendre la limite du quotient simplifié des termes de plus haut degré.

• Pour une fonction rationnelle, si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a}f(x)$ donne l'indétermination « $\scriptstyle {\frac {0}{0}}$ », on peut simplifier $f(x)$ par $(x-a)$.

• Pour lever un grand nombre d'indéterminations du type « $\scriptstyle {\frac {0}{0}}$ » avec des fonctions NON rationnelles, on utilise la définition du nombre dérivée : $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

• Lorsqu'une fraction contient des radicaux, il est parfois utile de faire appel à l'expression conjuguée.

Asymptotes

• Si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a^{+}}f(x)$ ou $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a^{-}}f(x)$ est inifinie, alors la droite $\scriptstyle \Delta \;:\;x=a$ est asymptote verticale

• Si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to +\infty }(f(x)-(ax+b))\;=\;0$, alors la droite $\scriptstyle \Delta \;:\;x=ax+b$ est asymptote oblique à $\scriptstyle {\mathcal {C}}\!f$ en $\scriptstyle +\infty$.
  Si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to -\infty }(f(x)-(ax+b))\;=\;0$, alors la droite $\scriptstyle \Delta \;:\;x=ax+b$ est asymptote oblique à $\scriptstyle {\mathcal {C}}\!f$ en $\scriptstyle -\infty$.

Théorèmes de comparaison

• Si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }g(x)=+\infty$ et si $\scriptstyle f(x)>g(x)$ au voisinage de $\alpha$, alors $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }f(x)=+\infty$.
  Si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }g(x)=-\infty$ et si $\scriptstyle f(x)<g(x)$ au voisinage de $\alpha$, alors $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }f(x)=-\infty$.

• Théorème d'encadrement des limites (ou théorème des gendarmes) :
  Si $\scriptstyle u(x)\,\leqslant \,f(x)\,\leqslant \,v(x)$ et si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }u(x)\,=\,\lim \limits _{x\to \alpha }v(x)\,=\,l$, alors $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }f(x)\,=\,l$.

Limites d'une fonction composée

• Si $\scriptstyle f=g\circ h$, $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a}h(x)=b$ et $\scriptstyle \lim \limits _{x\to b}g(x)=c$, alors on a : $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=c$

Continuité d'une fonction

• $\scriptstyle \forall a\in \mathbb {R}$, la fonction $f$ est continue au point $a$ si elle vérifie :
  • $\scriptstyle a\,\in \,{\mathcal {D}}\!f$
  • $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=f(a)$

• $f$ est continue sur un intervalle $I$ si $f$ est définie sur $I$ et si $f$ est continue en tout point de $I$.

• Si $f$ est continue sur un intervalle $\scriptstyle [a,b]$, alors qqst le réel $\scriptstyle c\,\in \,[f(a),f(b)]$ (ou $\scriptstyle [f(b),f(a)]$), l'équation $f(x)=c$ admet au moins une solution dans $\scriptstyle [a,b]$.
  Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $\scriptstyle [a,b]$, alors qqst le réel $\scriptstyle c\,\in \,[f(a),f(b)]$, l'équation $f(x)=c$ admet une unique solution dans $\scriptstyle [a,b]$.