43 700
modifications
« Le noyau atomique/La loi de désintégration radioactive » : différence entre les versions
Aller à la navigation
Aller à la recherche
Le noyau atomique/La loi de désintégration radioactive (modifier)
Version du 14 octobre 2018 à 14:39
, il y a 4 ans→Le cas général (les équations de Bateman)
|
: <math>...</math>
On pourrait développer chaque terme, en calculant chaque <math>N_i</math> et en l'injectant dans chaque <math>\lambda_{i} N_{i}</math>, comme nous l'avons fait dans le cas à deux désintégrations. Mais au-delà de 3 à 4 désintégrations successives, les calculs deviennent trop laborieux pour que cela soit faisable. Heureusement, il existe une formule qui permet de trouver formule explicite générale pour <math>N_i</math>, formule découverte par Henri Bateman. Celle-ci, très compliquée, est mentionnée juste par souci de complétude. Pour les curieux, on peut la démontrer à partir de la transformée de Laplace des équations différentielles <math>\frac{dN_i}{dt} = - \lambda_i N_i + \lambda_{i-1} N_{i-1}</math>.
: <math>N_n(t) = \sum_{i=1}^n \left [ N_i(0) \times \left ( \prod_{j=i}^{n-1} \lambda_j \right ) \times \left ( \sum_{j=i}^n \left ( \frac{e^{-\lambda_j t}}{\prod_{p=i, p\neq j}^n (\lambda_p-\lambda_j)} \right ) \right ) \right ] </math>
| |||