** <math>f</math> est une bijection de <math>I</math> sur <math>f(I)</math>,
** <math>f</math> est une bijection de <math>I</math> sur <math>f(I)</math>,
** <math>f^{-1}</math> est continue et strictement monotone de même sens que <math>f</math>.
** <math>f^{-1}</math> est continue et strictement monotone de même sens que <math>f</math>.
== Bijections réciproques des fonctions trigonométriques ==
=== La fonction arctan ===
==== Définition ====
* <math></math>
=== La fonction arcsin ===
=== La fonction arccos ===
Version du 30 décembre 2010 à 22:13
En travaux
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Généralités
Notions d'injection, de surjection et de bijection
Définitions
On dit que la fonction est injective si :
On dit que la fonction est surjective si :
On dit que la fonction est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, donc si :
Bijection réciproque
Si est bijective, on appelle bijection réciproque de l'application où est l'unique antécédent de par .
Continuité
Soit et une fonction. On dit que est continue en si
De manière équivalente, est continue en si et seulement si, pour toute suite qui converge, la suite converge vers .
Dérivabilité
Définition
On dit que est dérivable en si existe. Dans ce cas, on note ce nombre réel appelé le nombre dérivé de en .
On dit que est dérivable sur un intervalle si est dérivable en tout point de . Dans ce cas, on appelle dérivée de la fonction .
Dérivée d'une composée de fonctions
Soit une fonction où est un intervalle tel que .
Si est dérivable sur et dérivable sur , alors : est dérivable sur et
Dérivée de la réciproque d'une fonction
Soit une fonction continue strictement monotone.
Si est dérivable en , est dérivable au point si et seulement si , et on a alors :
Si est dérivable sur et , alors est dérivable sur et .
Propriétés utiles sur les variations
Variations de fonctions
On dit que est croissante si :
On dit que est strictement croissante si :
On dit que est décroissante si :
On dit que est strictement décroissante si :
Cas de stricte monotonie
Si est strictement monotone, alors est injective.
En particulier, si elle est continue, est bijective.
De plus, est strictement monotone de même sens que .
Théorème
Soit une fonction continue strictement monotone. Alors :
est un intervalle,
est une bijection de sur ,
est continue et strictement monotone de même sens que .
Bijections réciproques des fonctions trigonométriques