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Ligne 123 : |
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=== Oscillateur [[harmonique]] (sans amortissement) === |
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=== Oscillateur [[harmonique]] (sans amortissement) === |
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[[Equation différentielle]] de la forme : <math> \frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2}+\omega_0^ 2x=0</math> |
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*[[Équation différentielle]] de la forme : |
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[[Pulsation]] propre : <math>\omega_0=</math> ; [[Période]] propre: <math>T_0=\displaystyle \frac{2\pi}{\omega_0}</math> |
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*:<math> \frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2}+\omega_0^ 2 u=0</math> . |
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* [[Pulsation]] propre : |
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*:<math>\omega_0=\frac{k}{m}</math> |
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*[[Période]] propre: |
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*:<math>T_0=\displaystyle \frac{2\pi}{\omega_0}</math> |
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* Solution sous la forme : |
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*:<math> u(t)=A \cos(\omega_0 t)+B \sin(\omega_0 t)</math> . |
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Les constantes ''A '' et ''B '' sont déterminées par les conditions initiales. |
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=== Oscillateur avec facteur d'[[amortissement]] ''λ'' === |
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Solution sous la forme: <math> x(t)=A \cos(\omega_0 t)+B \sin(\omega_0 t)</math> |
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* [[Équation différentielle]] de la forme : |
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Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales. |
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*:<math>\frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2}+2\lambda\frac{\text{d} u}{\text{d} t}+\omega_0^2 u=0 </math> |
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* Trois cas selon la valeur du [[discriminant]] de l'[[équation caractéristique]] : |
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=== Oscillateur avec facteur d'[[amortissement]] <math>\lambda</math> ===
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*:<math>\Delta=4(\lambda^2-\omega_0^2)</math> |
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[[Equation différentielle]] de la forme : <math>\frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2}+2\lambda\frac{\text{d} x}{\text{d} t}+\omega_0^2x=0 </math>
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** <math>\Delta<0</math>, soit <math>\lambda<\omega_0</math>, alors |
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**:<math>x(t)=e^{-\lambda t}\left[A \cos(\Omega t)+B \sin(\Omega t)\right]</math> (régime pseudo-périodique) |
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::Pseudo-pulsation : <math>\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}</math> ; Pseudo-période : <math>T=\displaystyle \frac{2\pi}{\Omega}</math> |
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Trois cas selon la valeur du [[discriminant]] de l'[[équation caractéristique]] : |
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**<math>\Delta=0</math> , soit <math>\lambda=\omega_0</math>, alors |
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<math>\Delta=4(\lambda^2-\omega_0^2)</math> |
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**:<math>x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}</math> (régime critique) |
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**<math>\Delta>0</math>, soit <math>\lambda>\omega_0</math>, alors |
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<math>\ast</math> si <math>\Delta<0</math> soit <math>\lambda<\omega_0</math>, alors <math>x(t)=e^{-\lambda t}\left[A \cos(\Omega t)+B \sin(\Omega t)\right]</math> (régime pseudo-périodique)
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**:<math>x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t}+Be^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t})</math> (régime apériodique) |
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*Dans chaque cas, les constantes ''A '' et ''B '' sont déterminées par les conditions initiales. |
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Pseudo-pulsation : <math>\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}</math> ; Pseudo-période : <math>T=\displaystyle \frac{2\pi}{\Omega}</math> |
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<math>\ast</math> si <math>\Delta=0</math> soit <math>\lambda=\omega_0</math>, alors <math>x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}</math> (régime critique) |
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<math>\ast</math> si <math>\Delta>0</math> soit <math>\lambda>\omega_0</math>, alors <math>x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t}+Be^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t})</math> (régime apériodique) |
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Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales. |
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== Liens internes == |
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== Liens internes == |
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Ressources suggérées : physique
Modèle:FormulesPhysique
Cinématique : le rayon vecteur et ses dérivées successives
La vitesse du point situé en r s'écrit
- ,
et l'accélération
- .
- .
- .
Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :
- ,
- .
- ,
- ;
- ,
avec:
- ,
- .
Changement de référentiel
Vitesse d'entraînement:
Loi de composition des vitesses:
Accélération d'entraînement:
Accélération de Coriolis:
Loi de composition des accélérations:
Dynamique
Quelques forces
- Poids :
- Interaction électromagnétique :
- Interaction gravitationnelle :
- Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :
- Frottement fluide :
- Force d'inertie d'entraînement :
- Force d'inertie de Coriolis:
Principe fondamental de la dynamique
- Vecteur quantité de mouvement :
- (en général)
- Principe fondamental de la dynamique :
- Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,
Aspect énergétique
- Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:
- Travail le long d'un chemin :
- Puissance :
- On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :
- Énergie cinétique d'un point matériel :
- Théorème de l'énergie cinétique :
- Énergie mécanique :
Énergie potentielle pour quelques forces conservatives
Chacune de ces énergies est définie à une constante près
- Pesanteur :
- Ressort :
- Force de Coulomb :
- Gravitation :
Moment cinétique d'un point :
Moment d'une force par rapport à :
Théorème du moment cinétique:
Oscillateur
Oscillateur harmonique (sans amortissement)
- Équation différentielle de la forme :
- .
- Pulsation propre :
- Période propre:
- Solution sous la forme :
- .
Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
Oscillateur avec facteur d'amortissement λ
- Équation différentielle de la forme :
- Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :
- , soit , alors
- (régime pseudo-périodique)
- Pseudo-pulsation : ; Pseudo-période :
- , soit , alors
- (régime critique)
- , soit , alors
- (régime apériodique)
- Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
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