Systèmes dynamiques et équations différentielles

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(en cours d'écriture. Ce livre sera illustré par des figures et des animations en cours de réalisation.)

La théorie des systèmes dynamiques est comme une boule de cristal. C'est la science qui nous montre l'avenir et le passé à partir du présent.

Sections

Les lois du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

Les systèmes dynamiques à temps discret[modifier | modifier le wikicode]

La définition d'un système dynamique à temps discret est très simple. Il suffit d'avoir un ensemble des états du système et une fonction de dans , définie sur tout entier. Le couple définit un système dynamique à temps discret. est aussi appelé l'espace des états de et détermine sa loi du mouvement : si est dans l'état à l'instant alors il sera dans l'état à l'instant

La connaissance de et de l'état présent de suffit pour déterminer complètement tous ses états ultérieurs, donc tout son avenir : et plus généralement pour tout entier .

Pour connaître le passé à partir du présent il faut que la fonction soit inversible, c'est à dire qu'elle admette une fonction inverse telle que si et seulement si

On a alors :

et plus généralement pour tout

Posons par définition et

Lorsque est inversible, on a donc pour tout entier positif, négatif ou nul

La connaissance de et de l'état présent du système suffit donc pour déterminer complètement son mouvement, depuis l'infini dans le passé jusqu'à l'infini dans l'avenir.

La trajectoire du système est l'ensemble des états par lesquels il passe, c'est l'ensemble des pour tous les éléments de égal à est l'ensemble de tous les entiers.

La suite doublement infinie des états pour tout entier détermine le mouvement complet du système. Elle est comme une partition écrite d'avance et le mouvement du système est sa musique. On l'appelle la trajectoire paramétrée par le temps du système. C'est une fonction de (le temps discret) dans l'espace des états du système.

La connaissance de et de l'état présent du système suffit pour déterminer sa trajectoire paramétrée par le temps : pour tout

Pour les systèmes dynamiques à temps discret, le temps, c'est à dire l'ensemble des instants, est représenté par l'ensemble de tous les entiers. C'est bien sûr une représentation du temps très artificielle, mais elle s'impose assez naturellement pour certains systèmes dont les états sont repérés tous les ans, ou tous les mois, ou tous les jours. Si par exemple on étudie les variations d'une population animale qui a une période annuelle de reproduction au printemps, il peut suffire de la compter chaque année juste avant la période de reproduction.

La suite montrera que les systèmes dynamiques à temps continu peuvent toujours être étudiés à partir de systèmes à temps discret qui les représentent. C'est pourquoi les systèmes à temps discret, malgré le caractère artificiel de leur représentation du temps, sont fondamentaux pour toute la théorie des systèmes dynamiques.

Les équations différentielles ordinaires[modifier | modifier le wikicode]

Les équations différentielles ordinaires permettent de définir les systèmes dynamiques à temps continu les plus élémentaires, c'est à dire ceux dont les états peuvent être déterminés par un nombre fini de nombres réels.

Pour les systèmes dynamiques à temps continu, le temps est représenté naturellement par l'ensemble de tous les nombres réels. Il suffit de choisir un instant initial, daté par le nombre , et une unité de temps, la seconde ou l'année par exemple, pour que tous les instants du temps soient chacun datés par un unique nombre réel.

Si est un entier, un n-uplet de nombres réels est une suite finie de nombres réels.

Un 1-uplet de nombres réels est simplement un nombre réel

Un 2-uplet est un couple

Un 3-uplet est un triplet

L'ensemble de tous les n-uplets de nombres réels est appelé

Les équations différentielles ordinaires sont les lois du mouvement des systèmes dynamiques à temps continu dont les états sont représentés par des éléments de

Elles déterminent pour chaque état d'un système les vitesses de variation des grandeurs qui le définissent :

  • est le cas le plus simple. Le mouvement d'un système est alors représenté par une fonction de (le temps) dans (l'espace des états). On suppose que est une fonction partout dérivable, c'est à dire que sa dérivée autrement dit sa vitesse instantanée de variation, est définie pour tout
Pour définir la loi du mouvement de on a besoin d'une fonction de dans qui détermine à partir de
C'est une équation différentielle ordinaire. On l'appelle la loi du mouvement de
Par exemple, si , on obtient ou plus simplement
C'est l'une des équations différentielles ordinaires les plus simples. Elle est la loi d'une croissance exponentielle.
  • Pour le mouvement d'un système est représenté par une fonction de (le temps) dans (l'espace des états). Une telle fonction peut toujours être définie par deux fonctions et de dans  :
On suppose que et sont toutes les deux partout dérivables.
Pour définir la loi du mouvement de on a besoin de deux fonctions et de dans qui déterminent et à partir de et
Ces deux équations forment un système d'équations différentielles ordinaires. Ensemble elles définissent la loi du mouvement de
Par exemple, si et on obtient :
ou plus simplement :
est une constante positive.
Ce système d'équations différentielles ordinaires est la loi du mouvement d'un oscillateur harmonique.
  • Dans le cas général, le mouvement d'un système est décrit par une fonction de dans donc par fonctions de dans
représente l'état du système à l'instant
Pour définir la loi du mouvement, on a besoin de fonctions de dans et d'un système de équations différentielles ordinaires :
Pour simplifier les notations, on note :
Le système de équations différentielles ordinaires peut alors être écrit avec une seule équation :
est une fonction de dans

Les solutions des systèmes d'équations différentielles ordinaires[modifier | modifier le wikicode]

Les inconnues d'une équation sont en général des nombres. Les solutions de l'équation sont alors tous les nombres pour lesquels elle est vraie. Les inconnues d'un système de équations différentielles ordinaires sont des fonctions de dans . Les solutions d'un système de équations différentielles ordinaires sont toutes les fonction de dans pour lesquelles les équations différentielles sont vraies.

Les solutions d'un système d'équations différentielles ordinaires sont les trajectoires paramétrées par le temps d'un système dynamique dont il est la loi du mouvement. Ce sont des fonctions de (le temps) dans l'espace des états.

La recherche de solutions par intégration[modifier | modifier le wikicode]

Si on connaît l'état initial d'un système et sa loi du mouvement

on peut calculer approximativement son mouvement en procédant par étapes successives.

On choisit un intervalle de temps petit. Petit veut dire ici que la vitesse ne doit pas varier de façon appréciable pendant une si courte durée.

On calcule d'abord à partir de

De façon générale on calcule à partir de

Si on choisit suffisamment petit, la trajectoire peut être ainsi calculée avec une grande précision.

Soit et posons est un entier assez grand.

Si quand tend vers l'infini, donc quand tend vers zéro, la somme des pour tous les est un entier et telle qu'elle est calculée approximativement ci-dessus, tend vers une limite, on s'attend à ce que cette limite soit l'intégrale entre et de est une fonction de dans telle que

Quand on a trouvé une solution d'un système d'équations différentielles, on dit qu'on a intégré le système. On a alors :

Pour trouver les solutions des équations différentielles ordinaires, il n'est en général pas suffisant de connaître des primitives, parce que la fonction n'est pas connue d'avance, on sait seulement qu'elle est telle que mais est inconnue.

Les systèmes de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

La position d'un point matériel dans un espace à d dimensions est repérée par d nombres réels, donc par un élément de (en général d=1, 2 ou 3). Mais la position ne suffit pas pour déterminer l'état instantané du point. Il faut aussi prendre en compte sa vitesse, donc d nombres réels supplémentaires. Faut-il aussi prendre en compte son accélération pour déterminer son état instantané ? Non, parce que l'accélération n'est pas indépendante de la position et de la vitesse. Dès qu'on connaît les positions et les vitesses de tous les points matériels d'un système, on connaît les forces qu'ils exercent les uns sur les autres et donc leurs accélérations. On en conclut que 2d coordonnées suffisent pour déterminer l'état instantané d'un point matériel dans un espace à d dimensions et que 2nd coordonnées suffisent pour déterminer l'état instantané d'un système de n points matériels dans un espace à d dimensions :

L'espace des états d'un système de n points matériels dans un espace à d dimensions est

Soit le vecteur position du -ème point d'un système de points matériels et son vecteur vitesse. L'état du système est déterminé par les vecteurs :

Sa loi du mouvement est déterminée par les équations différentielles :

pour tous les de à

est une fonction de dans qui détermine l'accélération du -ème point matériel.

Et si la loi du mouvement varie ?[modifier | modifier le wikicode]

Pour que la loi du mouvement ne varie pas, il faut que le système soit isolé, ou qu'il soit placé dans des conditions extérieures constantes, ou qu'il ne soit pas affecté par les variations extérieures. Si l'environnement varie et s'il influence le système étudié, il n'y a pas de raison que la loi du mouvement soit constante.

Si le système et son environnement interagissent, il faut les considérer comme deux parties d'un système plus complet et étudier leur dynamique commune. Mais si l'environnement agit sur le système étudié sans être affecté par lui en retour, ses variations peuvent être connues d'avance. On est alors conduit à étudier une dynamique dépendante du temps, c'est à dire dépendante des variations prévues de l'environnement. Dans ce cas, la loi du mouvement est définie avec une fonction de dans

représente le temps.

Une dynamique dépendante du temps peut toujours être redéfinie comme une dynamique indépendante du temps. Il suffit d'agrandir l'espace des états en ajoutant une nouvelle variable pour laquelle on impose quel que soit

La fonction de dans définie par

représente la même dynamique que mais elle est indépendante du temps. La nouvelle variable mesure le passage du temps. Elle sert à incorporer la mesure du temps à l'intérieur du système.

Déterminisme et lois de causalité[modifier | modifier le wikicode]

Une loi de causalité, ou loi de cause à effet, est de la forme : si les causes C sont réunies alors les effets D se produiront.

Une loi du mouvement, ou loi dynamique, peut avoir une forme à temps discret : si le système est dans l'état à l'instant alors il sera dans l'état à l'instant ,

ou une forme à temps continu : si le système est dans l'état à l'instant alors sa vitesse à cet instant est

Les lois du mouvement sont un cas particulier des lois de causalité. La cause C est l'état initial du système et l'effet D son état ultérieur ou sa vitesse

Les lois de causalité sont des lois déterministes au sens où les effets sont déterminés par les causes, mais la théorie des système dynamiques définit le déterminisme en un sens plus fort : tous les états ultérieurs du système doivent être déterminés par son état présent, et même ses états antérieurs, lorsque sa dynamique est inversible.

Un système dynamique est déterministe au sens fort où sa trajectoire paramétrée par le temps est déterminée par son état présent.

Le déterminisme des systèmes dynamiques permet de justifier le déterminisme des lois de causalité. Pour justifier la loi qui enchaîne les effets D aux causes C, il suffit de prouver que pour toutes les trajectoires paramétrées par le temps pour lesquelles les causes C se produisent, les effets D se produisent également.

Prédiction dynamique et prédiction causale[modifier | modifier le wikicode]

Pour faire une prédiction dynamique, il faut connaître avec précision l'état présent du système et sa loi du mouvement. Il suffit alors d'itérer les équations du mouvement, lorsque le temps est discret, ou de les intégrer, lorsque le temps est continu, pour prédire les états ultérieurs du système. Mais en général les systèmes sont trop complexes pour que leurs états présents et leurs lois du mouvement soient connus avec précision.

Pour faire une prédiction causale, il suffit de connaître des causes présentes et des lois de causalité qui permettent d'enchaîner des effets à ces causes. Il n'est pas nécessaire de calculer avec précision tous les états de système, il suffit de raisonner logiquement sur les causes et les effets qui nous intéressent.

La prédiction causale est beaucoup mieux adaptée à notre ignorance des réalités complexes. Elle est d'un usage beaucoup plus souple que la prédiction dynamique. On ne cherche pas à connaître la réalité avec précision ou dans tous ses détails. On se concentre sur un petit nombre de causes et d'effets qui semblent importants.

La prédiction causale est d'usage général, tandis que les applications de la prédiction dynamique sont beaucoup plus limitées. Mais la prédiction dynamique est quand même plus fondamentale, parce qu'elle sert, au moins en principe, à justifier la prédiction causale.


Compléments mathématiques[modifier | modifier le wikicode]

Les flots[modifier | modifier le wikicode]

Un flot dans est une fonction de dans suffisamment régulière (continue, dérivable...).

On peut le considérer comme un champ de vecteurs : à chaque point de est attaché le vecteur


Ruissellement Vecteurs.gif


Tous ces vecteurs peuvent être considérés comme les vitesses d'un fluide. Le champ de vecteurs représente ainsi l'écoulement d'un fluide dans (pour que ce soit un vrai fluide, il faut bien sûr n=3). C'est pourquoi on peut l'appeler un flot.

Un flot dans détermine un système dynamique : son espace des états est et sa loi du mouvement est

Les lignes de courant d'un écoulement sont des lignes partout tangentes à la vitesse du fluide à un instant donné. Elles sont aussi les trajectoires des particules de fluide lorsque l'écoulement est stationnaire, c'est à dire lorsque le champ des vitesses ne varie pas :


Ruissellement Lignes de courant.gif


Une trajectoire d'un système dynamique dans son espace d'états est partout tangente à son vecteur vitesse. Elle est donc une ligne de courant du flot qui représente la dynamique du système.

Une trajectoire paramétrée par le temps d'une particule de fluide entraînée par le flot est également une trajectoire paramétrée par le temps du système dans son espace d'états. On peut la représenter en dessinant une suite de petites flèches sur une ligne de courant, séparées par des intervalles de temps réguliers, comme si le Petit Poucet les avaient tracées derrière lui :


Ruissellement Lignes paramétrées.gif


Mais l'une des représentations les plus riches d'enseignements est tout simplement de montrer le mouvement de ce fluide mathématique :

Ruissellement.gif

(Cliquez pour animer)

Les applications linéaires de dans [modifier | modifier le wikicode]

  • Les applications linéaires de dans sont toutes les fonctions de dans définies par
Elles sont représentées dans par des droites qui passent par l'origine. Toutes les droites qui passent par l'origine représentent une application linéaire, sauf l'axe vertical.
  • Les applications linéaires de dans sont toutes les fonctions de dans définies par
Elles sont représentées dans par des plans qui passent par l'origine. Tous les plans qui passent par l'origine représentent une application linéaire, sauf s'ils sont verticaux.
  • Les applications linéaires de dans sont toutes les fonctions de dans définies par
  • applications linéaires de dans pour de à définissent une application linéaire de dans si on pose
On peut définir avec la matrice des coefficients qui déterminent les

Les applications linéaires sont étudiées dans le cours d'algèbre linéaire. Elles ont été introduites ici parce que les différentielles d'une fonction de dans présentées un peu plus loin, sont des applications linéaires de dans

Les dérivées partielles d'une fonction de dans [modifier | modifier le wikicode]

Pour une fonction de dans il y a une seule direction de variation pour la variable qui permet de mesurer la différence entre et . En chaque point il y a donc un seul nombre dérivé

Pour une fonction de dans , il y a deux directions de variations, une pour chaque variable. On peut calculer :

et

On peut donc calculer deux nombres dérivés, que l'on note (lire "dé rond f sur dé rond x en x y") et

On les appelle les dérivées partielles de au point

Pour une fonction de dans on peut calculer nombres dérivés, donc autant de dérivées partielles :

pour de à

Les différentielles d'une fonction de dans [modifier | modifier le wikicode]

  • La différentielle d'une fonction de dans au point est l'application linéaire de dans qui s'approche le plus de la variation de au voisinage de
Pour tout
Lorsque est assez petit
Pour ne pas alourdir la notation, on ne précise pas que dépend du point où on dérive
La tangente à la courbe qui représente au point d'abscisse est représentée par la fonction qui à associe
  • La différentielle d'une fonction de dans au point est l'application linéaire de dans qui s'approche le plus de la variation de au voisinage de
Pour tous les
Comme dépend implicitement du point où on dérive on note plus simplement :
ou même :
Lorsque et sont assez petits
Le plan tangent à la surface qui représente au point à la verticale de est représenté par la fonction qui à associe
  • La différentielle d'une fonction de dans au point est l'application linéaire de dans qui s'approche le plus de la variation de au voisinage de
Pour tous les
Lorsque les sont assez petits
  • La différentielle d'une fonction de dans au point est l'application linéaire de dans qui s'approche le plus de la variation de au voisinage de
Soit une fonction de dans définie par où les sont fonctions de dans
Alors

L'existence et l'unicité d'une solution d'un système d'équations différentielles ordinaires[modifier | modifier le wikicode]

Les mouvements au voisinage d'un équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Un flot est presque linéaire au voisinage d'un équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Soit le flot dans d'un système dynamique

Les points d'équilibre de sont les points de où il est immobile

Comme les points d'équilibre de sont les points où son flot s'annule :

Au voisinage d'un point d'équilibre , le flot est peu différent de sa différentielle en ce point :

si est assez petit.

La différentielle de en est une fonction de dans , elle est donc aussi un flot. Mais c'est un flot en général plus facile à étudier que parce qu'il est défini par une application linéaire de dans

Pour étudier les mouvements au voisinage d'un point d'équilibre on a intérêt à étudier le flot linéaire défini par la différentielle du flot initial en ce point, parce que cette différentielle est une bonne approximation du flot que l'on veut étudier.

Les équilibres dans un espace d'états à une dimension[modifier | modifier le wikicode]

Soit un système dont l'espace des états est et son flot, c'est à dire une fonction de dans

Les points d'équilibre de sont les points tels que

Soit la différentielle de en un point d'équilibre

Soit une fonction de dans qui représente une trajectoire paramétrée par le temps, donc quel que soit

Si on pose on a

quand n'est pas trop grand.

On est donc conduit à l'équation différentielle

Sa solution générale est

C'est une croissance exponentielle quand et une décroissance exponentielle quand

Si un écart à l'équilibre varie en grandissant, le point est donc un équilibre instable.

Si un écart à l'équilibre varie en diminuant, le point est donc un équilibre stable.

Si on ne peut pas conclure. Il faut étudier plus précisément. La différentielle ne suffit pas pour caractériser le point d'équilibre.

Voici deux trajectoires paramétrées autour d'un point d'équilibre stable :


Stability 1D.gif


Et deux trajectoires paramétrées autour d'un point d'équilibre instable :


Instability 1D.gif

Les oscillations harmoniques[modifier | modifier le wikicode]

Soit le flot dans défini par est une constante positive.

définit le système d'équations différentielles

est un flot linéaire et son unique point d'équilibre est

Ce flot peut être représenté par un champ de vecteurs :



La solution générale du système d'équations différentielles défini par est

On peut représenter ces solutions par des trajectoires paramétrées :



ou par un fluide en mouvement :

Les équilibres dans un espace d'états à deux dimensions[modifier | modifier le wikicode]

Les équilibres dans un espace d'états à n dimensions[modifier | modifier le wikicode]

Les attracteurs[modifier | modifier le wikicode]

Les mouvements chaotiques[modifier | modifier le wikicode]

Streamline in a Lorenz system.gif

Lorenz attractor.gif

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Catastrophes et bifurcations[modifier | modifier le wikicode]

Les milieux continus[modifier | modifier le wikicode]

L'espace de états et les trajectoires d'un milieu continu[modifier | modifier le wikicode]

Les lois du mouvement d'un milieu continu sont des équations aux dérivées partielles[modifier | modifier le wikicode]

Le déterminisme des mouvements aléatoires[modifier | modifier le wikicode]

Bibliographie[modifier | modifier le wikicode]