Topologie/Bases d'ouverts

Topologie engendrée par une collection de parties

Soient $X$ un espace topologique et ${\mathcal {A}}$ une collection de parties de $X$.

Théorème — L'intersection d'une famille de topologies sur $X$ est encore une topologie sur cet ensemble.

Démonstration

Soit $({\mathcal {O}}_{i})_{i\in I}$ une famille arbitraire de topologies sur $X$

1. Puisque l'ensemble vide et $X$ appartiennent à chacun des éléments de la famille, ils appartiennent à son intersection.
2. Soient $O_{1}$ et $O_{2}$ deux éléments de l'intersection. Sachant que $O_{1}\cap O_{2}$ appartient à chacun des ${\mathcal {O}}_{i}$, cet ensemble appartient à l'intersection de la famille.
3. Soit $(O_{j})_{j\in J}$ une famille d'éléments de l'intersection. Comme l'union de cette famille appartient à chacun des ${\mathcal {O}}_{i}$, elle reste dans leur intersection.

On appelle topologie engendrée par ${\mathcal {A}}$ la topologie $\tau ({\mathcal {A}})$ obtenue en intersectant toutes les topologies sur $X$ contenant ${\mathcal {A}}$. C'est ainsi la moins fine de toutes les topologies sur $X$ contenant ${\mathcal {A}}$.

Base d'un espace topologique

Une collection ${\mathcal {B}}$ d'ouverts de $X$ est une base d'ouverts si tout ouvert est réunion d'éléments de ${\mathcal {B}}$.

Théorème — Si une collection ${\mathcal {B}}$ de parties de $X$ vérifie les deux conditions suivantes :

1. ${\mathcal {B}}$ recouvre $X$, cela signifie que $X$ s'obtient comme la réunion de tous les éléments de ${\mathcal {B}}$
2. l'intersection de deux éléments de ${\mathcal {B}}$ peut s'écrire comme une réunion d'éléments de ${\mathcal {B}}$, c-à-d en prenant $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$, en chaque point $x$ de leur intersection, on peut toujours trouver $B_{x}$ dans ${\mathcal {B}}$ de sorte que $x\in B_{x}\subseteq B_{1}\cap B_{2}$

alors il existe une topologie sur $X$, et une seule telle que ${\mathcal {B}}$ en est une base — c'est la topologie engendrée par cette collection.

Démonstration

On considère la collection suivante ${\mathcal {O}}=\{O\in {\mathcal {P}}(X)\;\vert \;\forall x\in O,\exists B\in {\mathcal {B}}{\text{ tel que }}x\in B\subseteq O\}$ et montrons qu'il s'agit d'une topologie sur $X$.

1. Par vacuité on a $\varnothing$ élément de ${\mathcal {O}}$, et puis comme ${\mathcal {B}}$ recouvre $X$ ce dernier appartient évidemment à cette collection.
2. Prenons $O_{1},O_{2}$ dans ${\mathcal {O}}$. Déjà $O_{1}\cap O_{2}$ est une partie de $X$. Fixons $x\in O_{1}\cap O_{2}$, il y a $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$ pour lesquels $x\in B_{1}\subseteq O_{1}$ et $x\in B_{2}\subseteq O_{2}$. Ainsi $x\in B_{1}\cap B_{2}\subseteq O_{1}\cap O_{2}$, mais on sait qu'il existe aussi $B_{x}$ dans ${\mathcal {B}}$ avec $x\in B_{x}\subseteq B_{1}\cap B_{2}\subseteq O_{1}\cap O_{2}$.
   Par suite l'intersection $O_{1}\cap O_{2}$ appartient à la collection ${\mathcal {O}}$.
3. Soit $(O_{i})_{i\in I}$ une famille d'éléments de ${\mathcal {O}}$. On fixe $x$ dans l'union de la famille, ainsi $x$ appartient à un $O_{j}$. Il existe alors $B$ dans ${\mathcal {B}}$ de sorte que $x\in B\subseteq O_{j}\subseteq \textstyle {\bigcup _{i\in I}O_{i}}$, d'où l'union dans la collection.

Par construction ${\mathcal {B}}$ est une base de la topologie ${\mathcal {O}}$. Cela montre l'existence d'une telle topologie, mais l'unicité est immédiate. Puisque si ${\mathcal {T}}$ est une topologie sur $X$ dont ${\mathcal {B}}$ est une base, un ouvert $O$ s'écrit comme réunion d'éléments de ${\mathcal {B}}$. Comme ${\mathcal {B}}\subseteq \tau ({\mathcal {B}})$ la partie $O$ est également un ouvert pour la topologie engendrée, donc ${\mathcal {T}}=\tau ({\mathcal {B}})$. Ce qui établit l'unicité d'une part, mais aussi le fait que cette topologie ne peut qu'être la topologie engendrée par ${\mathcal {B}}$.