Topologie/Bases d'ouverts

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Topologie engendrée par une collection de parties[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace topologique et une collection de parties de .

Théorème — L'intersection d'une famille de topologies sur est encore une topologie sur cet ensemble.


On appelle topologie engendrée par la topologie obtenue en intersectant toutes les topologies sur contenant . C'est ainsi la moins fine de toutes les topologies sur contenant .

Base d'un espace topologique[modifier | modifier le wikicode]

Une collection d'ouverts de est une base d'ouverts si tout ouvert est réunion d'éléments de .


Théorème — Si une collection de parties de vérifie les deux conditions suivantes :

  1. recouvre , cela signifie que s'obtient comme la réunion de tous les éléments de
  2. l'intersection de deux éléments de peut s'écrire comme une réunion d'éléments de , c-à-d en prenant , en chaque point de leur intersection, on peut toujours trouver dans de sorte que

alors il existe une topologie sur , et une seule telle que en est une base — c'est la topologie engendrée par cette collection.