Aller au contenu

Topologie/Continuité et homéomorphismes

Un livre de Wikilivres.

Dans ce qui suit et sont des espaces topologiques quelconques.

Une fonction est dite continue en un point lorsque l'image réciproque de tout voisinage de est voisinage de .
La fonction est dite continue sur (ou simplement continue) si elle est continue en tout point de . Elle est dite continue sur une partie de si sa restriction à l'est (bien entendu, en munissant cette partie la topologie induite).

Théorème — Soit une fonction, les propositions suivantes sont toutes équivalentes entre elles :

  1. est continue
  2. l'image réciproque d'un ouvert est ouverte, c-à-d si est un ouvert dans , alors est ouverte dans
  3. l'image réciproque d'un fermé est fermée, c-à-d si est un fermé dans , alors est fermée dans
  4. l'image directe de l'adhérence d'une partie est incluse dans l'adhérence de l'image directe de cette partie, c-à-d pour , on a
  5. l'adhérence de l'image réciproque d'une partie est contenue dans l'image réciproque de l'adhérence de cette partie, c-à-d pour , on a
  6. la frontière de l'image réciproque d'une partie est incluse dans l'image réciproque de la frontière de cette partie, c-à-d pour , on a