Topologie/Continuité et homéomorphismes

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Dans ce qui suit et sont des espaces topologiques quelconques.

Continuité[modifier | modifier le wikicode]

Une fonction est dite continue en un point lorsque l'image réciproque de tout voisinage de est voisinage de .
La fonction est dite continue sur (ou simplement continue) si elle est continue en tout point de . Elle est dite continue sur une partie de si sa restriction à l'est (bien entendu, en munissant cette partie la topologie induite).

Théorème — Soit une fonction, les propositions suivantes sont toutes équivalentes entre elles :

  1. est continue
  2. l'image réciproque d'un ouvert est ouverte, c-à-d si est un ouvert dans , alors est ouverte dans
  3. l'image réciproque d'un fermé est fermée, c-à-d si est un fermé dans , alors est fermée dans
  4. l'image directe de l'adhérence d'une partie est incluse dans l'adhérence de l'image directe de cette partie, c-à-d pour , on a
  5. l'adhérence de l'image réciproque d'une partie est contenue dans l'image réciproque de l'adhérence de cette partie, c-à-d pour , on a
  6. la frontière de l'image réciproque d'une partie est incluse dans l'image réciproque de la frontière de cette partie, c-à-d pour , on a