Topologie/Continuité et homéomorphismes
Apparence
Dans ce qui suit et sont des espaces topologiques quelconques.
Continuité
[modifier | modifier le wikicode]Une fonction est dite continue en un point lorsque l'image réciproque de tout voisinage de est voisinage de .
La fonction est dite continue sur (ou simplement continue) si elle est continue en tout point de . Elle est dite continue sur une partie de si sa restriction à l'est (bien entendu, en munissant cette partie la topologie induite).
Théorème — Soit une fonction, les propositions suivantes sont toutes équivalentes entre elles :
- est continue
- l'image réciproque d'un ouvert est ouverte, c-à-d si est un ouvert dans , alors est ouverte dans
- l'image réciproque d'un fermé est fermée, c-à-d si est un fermé dans , alors est fermée dans
- l'image directe de l'adhérence d'une partie est incluse dans l'adhérence de l'image directe de cette partie, c-à-d pour , on a
- l'adhérence de l'image réciproque d'une partie est contenue dans l'image réciproque de l'adhérence de cette partie, c-à-d pour , on a
- la frontière de l'image réciproque d'une partie est incluse dans l'image réciproque de la frontière de cette partie, c-à-d pour , on a