Topologie/Espace métrique

Définition

On appelle distance sur un ensemble $X$ toute application $d:X\times X\to \mathbb {R}$ qui vérifie pour tous $x,y,z\in X$

1.	$d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$	(séparation)
2.	$d(x,y)=d(y,x)$	(symétrie)
3.	$d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(z,y)$	(inégalité triangulaire)

Muni d'une distance, l'ensemble $X$ devient un espace métrique. Pour préciser la distance considérée, on dira s'il y a ambiguïté que $(X,d)$ est un espace métrique.

Remarque Une distance est toujours positive, en effet la séparation donne $d(x,x)=0$, avec l'inégalité triangulaire on a $d(x,y)+d(y,x)\geqslant 0$ puis avec la symétrie $2d(x,y)\geqslant 0$, d'où $d(x,y)\geqslant 0$.

Topologie d'espace métrique

On appelle boule ouverte centrée en $a\in X$ et de rayon $r>0$ l'ensemble $B(a,r)$ des points qui sont situés à une distance inférieure à $r$ du centre, c'est-à-dire l'ensemble $B(a,r)=\{x\in X\;\vert \;d(a,x)<r\}$.

Il est facile de vérifier que l'ensemble des boules ouvertes forme une base de la topologie engendrée par celle-ci (cf. le théorème vu dans la section précédente). On dit que les boules forment une base d'ouverts de la topologie d'espace métrique sur $(X,d)$.
Ainsi, une partie $O$ de $X$ est ouverte si, et seulement si pour tout $x\in O$, il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subseteq O$. En d'autre termes, en chaque point d'un ouvert on peut trouver une boule ouverte centrée en ce point et contenue dans l'ouvert.