Topologie/Espace métrique

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Définition[modifier | modifier le wikicode]

On appelle distance sur un ensemble toute application qui vérifie pour tous

1. (séparation)
2. (symétrie)
3. (inégalité triangulaire)

Muni d'une distance, l'ensemble devient un espace métrique. Pour préciser la distance considérée, on dira s'il y a ambiguïté que est un espace métrique.

Remarque Une distance est toujours positive, en effet la séparation donne , avec l'inégalité triangulaire on a puis avec la symétrie , d'où .

Topologie d'espace métrique[modifier | modifier le wikicode]

On appelle boule ouverte centrée en et de rayon l'ensemble des points qui sont situés à une distance inférieure à du centre, c'est-à-dire l'ensemble .

Il est facile de vérifier que l'ensemble des boules ouvertes forme une base de la topologie engendrée par celle-ci (cf. le théorème vu dans la section précédente). On dit que les boules forment une base d'ouverts de la topologie d'espace métrique sur .
Ainsi, une partie de est ouverte si, et seulement si pour tout , il existe tel que . En d'autre termes, en chaque point d'un ouvert on peut trouver une boule ouverte centrée en ce point et contenue dans l'ouvert.