Topologie/Sous-espace topologique
Apparence
Topologie induite
[modifier | modifier le wikicode]Soient une espace topologique et une partie de cet ensemble.
Théorème et Définition — La collection formée des intersections de avec un ouvert de , est une topologie sur appelée topologie induite sur cette partie. On dit que est un sous-espace topologique de dès lors qu'elle est munie de la topologie induite.
Démonstration
- Les ensembles et appartiennent à cette collection puisqu'on peut écrire et avec le vide et des ouverts de .
- Soient et deux éléments de . Montrons que leur intersection reste dans . Comme ils appartiennent tous deux à la collection, on peut trouver deux ouverts et pour lesquels et .
Puis en remarquant que avec ouvert, il vient que l'intersection appartient à . - Soit une famille d'éléments de . Chacun des s'écrivant pour un certain ouvert de , en constatant que
avec la réunion des ouverte, cela suffit pour conclure que la réunion de la famille est aussi un élément de .
Remarque Si est déjà une partie ouverte, alors les ouverts de sa topologie induite sont aussi des ouverts de la topologie sur .