Traçage en chaudronnerie et tuyauterie/Surface non développable

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Développement du cylindre oblique.

Démarche

Le cylindre n'est pas une forme de révolution, il ne peut donc pas s'obtenir par roulage. Il s'obtient par pliage, donc il faut réaliser deux demi-cylindre (pour éviter la collision tôle-contre-vè lors du pliage) puis les souder. On fabrique deux demi-cylindres identiques, ce qui permet de ne faire qu'un seul développement.

On définit une famille de génératrices [1.A] à [12.L] en coupant le cercle de base en 12 parties égales et en traçant les génératrices.

Puis, on trace une section droite ; il s'agit d'une ellipse dont le petit axe est perpendiculaire aux génératrices, et dont le grand axe est le diamètre du cercle de base. Pour simplifier, on choisit la section droite qui passe au centre du cylindre. Les génératrices coupent une demie ellipse aux points numérotés de 13 à 19.


Propriété

On peut approcher le périmètre p d'une ellipse par la formule

   p \simeq \pi \sqrt{ 2 (a^2 + b^2) - \frac{1}{2} (a - b)^2 }

où a est le grand rayon et b le petit rayon.

Cela permet d'avoir la longueur développée de la tôle. Ici :

   p \simeq \pi \sqrt{ 2 (25^2 + 21^2) - \frac{1}{2} (25 - 21)^2 } = 145\ \mathrm{mm}

On commence donc le tracé par une droite de longueur p = 145 mm. Le point de gauche est le point 13, puis on place les points suivants en reportant les distances mesurées sur la section rabattue (qui est en vraie grandeur) : 13'.14 permet de placer le point 14 sur le développement, …

   Ce faisant, on remplace l'ellipse par un polygone, puisque l'on remplace des arcs par des cordes. Pour limiter la propagation d'erreur, on peut se recadrer sur les points particulier (point 16 milieu, point 19 à l'extrémité droite). On peut également diviser les arcs d'ellipse plus petit, et reporter ainsi des cordes plus petites (l'écart entre arc et corde étant ainsi moins grand) ; par exemple, on place quatre points intermédiaires entre les points 13 et 14.

On trace le développement de la section droite horizontalement, les génératrices sont donc verticales. Les génératrices sont en vraie grandeur sur la vue frontale ; on reporte donc la longueur 14'.h' pour avoir 14.H sur le développement, … On remarque que, par symétrie, 14.H = 18.12, 14.8 = 18.L, … Pyramide tronquée

Pour fabriquer la pyramide tronquée, on commence par faire deux demies pyramides (pour éviter la collision tôle-contre-vè lors du pliage) puis on les soude. Il faut donc développer deux demies pyramides.

Lorsque l'on prolonge les plis, ils se rencontrent à l'apex (sommet haut de la pyramide). Par ailleurs, si la base de la pyramide est un polygone régulier (les côtés ont tous la même longueur) et que la troncature est droite, on obtient des trapèzes tous identiques.

Application

Une pyramide raccorde deux sections carrées placées sur des plans parallèles. Si l'axe reliant les centres des carrés est perpendiculaire aux plans, il s'agit d'une pyramide droite. Ce raccordement peut être par exemple une trémie (entonnoir) ou une hotte d'aspiration. Pyramide droite à base carrée tronquée

Travail demandé

On considère une pyramide à base carrée droite. Développer la demie-pyramide.

Démarche

Développement d'un demi tronc de pyramide à base carrée

Les grande et petite bases du trapèze sont vues en vraie grandeur sur les plans frontal et horizontal. On détermine la vraie grandeur des côtés non-parallèles, ainsi que la vraie grandeur de la hauteur d'un trapèze, par la méthode de la droite carrée. Rappelons que l'on trace sur les faces intérieures pour le pliage. Comme les moitiés sont symétriques, cela n'a aucune importance ici, mais c'est une bonne habitude à prendre.

Pour tracer le premier trapèze :

   On trace la grande base [BC] et sa médiatrice, qui est l'axe de symétrie du trapèze.
   On trace un arc de cercle centré sur le milieu de la grande base, et ayant pour rayon la hauteur d'un trapèze ; l'intersection avec la médiatrice donne le milieu de la petite base. On trace une parallèle à la grande base passant par ce point, cela donne la droite (2,3) supportant la petite base.
   À partir des extrémités de la grande base, on trace un arc de cercle dont le rayon est la longueur des côtés non-parallèles ; l'intersection de ces arcs avec le support de la petite base donne les extrémités 2 et 3 de la petite base.
   On prolonge les côtés non parallèles, (B.2) et (C.3), pour déterminer l'apex S.
   Pour tracer les deux trapèzes adjacents, on trace un cercle dont le centre est l'apex S et passant par les extrémités de la grande base. On reporte sur ce cercle les longueurs des grandes bases. On procède de même pour les petites bases.

Troncature inclinée Pyramide à base carrée tronquée : représentation partielle

Travail demandé

On considère une pyramide à base carrée droite, tronquée par un plan incliné.

Compléter la vue horizontale, et développer la demie-pyramide. Construction de la développée

Démarche

Si le plan de troncature est incliné, on développe le tronc de pyramide droit, puis on retire les longueurs manquantes, en partant de l'apex — on pourrait reporter les longueurs d'arêtes, mais habituellement on reporte ce que l'on enlève, ce qui permet de travailler avec les pyramides inclinées.

On choisit les lignes de soudure, [E.5] et [F.6], de manière à avoir deux moitiés symétriques : on fabrique ainsi deux fois la même pièce, en utilisant un seul gabarit. Apex inaccessible Pyramide à base carrée tronquée, l'apex étant inaccessible : représentation partielle

Si la différence entre la grande base et la petite base est faible, l'apex se retrouve très loin, et l'on ne peut l'utiliser pour tracer la développée.

Travail demandé

On considère une pyramide à base carrée droite, tronquée.

Compléter la vue horizontale, et développer la demie-pyramide. Construction de la développée

Démarche

Le premier trapèze 2.3.C.B est construit de manière classique.

Pour construire les trapèzes adjacents, on utilise le fait que les diagonales ont toutes les mêmes longueur, celle-ci étant déterminée sur le premier trapèze tracé. Ainsi, le point A se trouve

   sur le cercle de centre B et de rayon A.B ;
   sur le cercle de centre 2 et de rayon A.2 = B.3 ;

donc à l'intersection des deux cercles. De même, le point 1 est construit en considérant que A.1 = B.2 et longueur du segment 1.2 = longueur du segment 2.3. tronc de cône

Sur un cône, toutes les génératrices passent par le sommet S.

Un tronc de cône est l'intersection d'un cône avec un plan.

Applications

Un tronc de cône droit peut servir de trémie (entonnoir), de réducteur (raccordement de deux tuyaux coaxiaux de diamètre différent, de hotte d'aspiration, … Développement d'un tronc de cône droit

On considère dans un premier temps un tronc de cône droit, c'est-à-dire que le plan d'intersection est perpendiculaire à l'axe du cône.

Applications

Le tronc de cône droit raccorde deux sections circulaires sur des plans parallèles, et coaxiales : l'axe passant par le centre des cercles est perpendiculaire aux plans. Il peut s'agir de raccorder deux tuyaux coaxiaux mais de diamètre différent.

Travail demandé

Développer un tronc de cône droit. Développement d'un tronc de cône droit.

Démarche

Soit un tronc de cône ; R est le rayon de la base, r est le rayon du cercle supérieur, a est l'apothème, c'est-à-dire la longueur d'une génératrice prolongée jusqu'au sommet S. On appelle a' l'apothème du cône complémentaire (partie qui a été tronquée).

Le développement du tronc de cône est une portion d'anneau. L'arc extérieur se situe sur un cercle dont le centre est le sommet S, et dont le rayon est l'apothème a ; sa longueur L est le périmètre de la base du tronc de cône, 2πR. Pour le tracer, on trace un grand arc de cercle de rayon a, puis on délimite un arc de longueur L en utilisant un réglet que l'on courbe à la manière d'une cerce (curvigraphe). Si cela n'est pas possible, ou si l'on veut être plus précis, on peut déterminer l'angle α que représente la portion d'anneau :

   \alpha (^\mathrm{o}) = \frac{\mathrm{R}}{a}\times 360.

L'arc intérieur est sur un cercle de centre S et de rayon a'.

Mise en œuvre concrète

Roulage d'un tronc de cône.

Pour rouler le tronc de cône, il faut engager la tôle en s'assurant que la génératrice est parallèle à l'axe des rouleaux. On place une cornière en butée pour guider la tôle. Section d'un cône droit par un plan incliné Section d'un cône par un plan incliné: représentation partielle.

Considérons un cône de révolution coupé par un plan incliné Π perpendiculaire au plan (x, z), dont la trace sur la plan vertical est (π'). Il s'agit d'un raccordement entre une section circulaire et une section elliptique sur des plans concourants, mais ces sections ne sont pas quelconques.

travail demandé

Terminer la vue de dessus et faire le développement du tronc de cône. Section d'un cône par un plan incliné : solution et développement de la tôle.

Démarche

On commence par diviser le cercle de base en 12 arcs égaux, et l'on trace les génératrices que l'on repère (numérote). On remarque que les génératrices [a'.1'] et [g'.7'] (en bleu sur la figure) sont en vraie grandeur (VG) dans le plan frontal.

Sur le plan vertical, l'intersection des génératrices avec la trace du plan incliné (π') donne l'abscisse x du point d'intersection, abscisse que l'on reporte sur le plan horizontal : la projection dudit point sur le plan horizontal est sur la projection de la génératrice, et sur la même verticale (ligne de rappel, on « descend » le point).

Cela ne marche pas avec les génératrices [D.4] et [J.10], puisque la projection des génératrice est parallèle à la verticale. Pour obtenir ces points, il faut faire une projection sur le plan (\mathrm{O}, \vec y, \vec z), ce qui revient à faire tourner le cône d'un quart de tour autour de son axe. Or, comme l'axe est vertical, les point restent à la même hauteur, et la génératrice prend la place des génératrices (a'.1') et (g'.7') qui sont en vraie grandeur.

Il suffit donc de :

   tracer, sur la vue frontale, l'horizontale entre les points d'/j' du plan de section et la génératrice [g'.7'] ou [a'.1'] (nous avons choisi [g'.7']) ;
   mesurer la distance rd'/j' entre cette projection et l'axe ;
   reporter cette distance sur le plan horizontal (au compas, ou en utilisant une charnière).

Pour développer la tôle, on utilise la même propriété : si l'on fait tourner le cône pour mettre la génératrice n à la place de [a'.1'] ou [g'.7'], le point garde la même hauteur sur le plan vertical. On projette donc tous les points sur la génératrice [g'.7'] ou [a'.1']. On obtient ainsi la VG sans utiliser de droite carrée.

On développe la tôle comme s'il s'agissait d'un cône droit, et l'on trace les génératrices (en reportant la longueur de l'arc de base divisé par 12, ou bien l'angle total divisé par 12). La longueur des génératrices est la longueur projetée sur 7' ou 1' obtenue précédemment. Mais plutôt que reporter la longueur des génératrices depuis le cercle de base, on préfère reporter la distance enlevée depuis le sommet (SA, SB, …, SL) ; en effet, cela sera indispensable avec un cône oblique, on travailler alors toujours avec la même méthode. Développement du tronc de cône en n'utilisant que la vue frontale.

Notons que le tracé de la section sur la vue horizontale n'est pas indispensable pour le développement ; et, la forme étant symétrique, il n'est pas non plus nécessaire de repérer complètement les génératrices. On peut donc se contenter de travailler uniquement avec la vue frontale ; on construit un système régulier de génératrices à partir d'une demie section rabattue. Tronc de cône oblique Cône oblique et sa section droite.

Considérons maintenant le raccordement entre deux sections circulaires sur des plans parallèles, mais qui ne sont pas coaxiales. C'est un tronc de cône oblique à base circulaire. L'axe du cône passe par le centre de la base ; ce n'est pas la bissectrice du secteur angulaire. Les sections droites (perpendiculaires à l'axe) sont des ellipses, ce n'est pas un cône de révolution, on ne peut pas le réaliser par roulage. Par ailleurs, l'axe passe par les centre des sections circulaires, il ne passe pas par le centre des sections droites.


Application

Raccordement de tuyaux d'axes parallèles par un tronc de cône incliné.

Cela permet de raccorder deux sections circulaires sur des plans parallèles, qui n'ont pas le même diamètre et ne sont pas coaxiales. C'est le cas par exemple de deux tuyaux de diamètres différents et d'axes parallèles non confondus. Tronc de cône oblique

Travail demandé

Faire le développement du tronc de cône. Développement du tronc de cône oblique.

Démarche

Comme précédemment, comme on ne veut que le développement de la tôle, on peut se contenter de travailler sur la vue frontale. Mais nous travaillerons aussi sur la vue horizontale pour nous habituer à bien repérer les génératrices, ce qui servira si l'on a une section inclinée.

On commence par déterminer la position s' en prolongeant les génératrices connues. Puis, on divise la section du bas en 12 parties égales ; les points sont repérés de 1 à 12 (sur la vue frontale, on ne voit que la moitié des points, 1', 7' à 12'). Sur la vue horizontale, on trace les génératrices s.1 à s.12, elles coupent la section supérieure aux points repérés a à l. Sur la vue frontale, on trace les génératrices s'.1 et s'.7 à s'.12.

Comme précédemment, on remarque que sur la vue frontale, les droites (s'.1) et (s'.7) sont en vraie grandeur (VG).

Le cône incliné ne peut se faire que par pliage, il faut donc développer en deux parties. On coupe la pièce afin d'avoir deux parties identiques. On choisit de démarrer par une génératrice en VG sur la vue frontale, par exemple [G.7], que l'on peut donc directement tracer, et l'on place le sommet S.

On sait que l'arcs [6.7] a pour longueur 1/12 du périmètre, soit πD/12 = π×50/12 = 13 mm. Sur le développement, on trace donc un cercle dont le centre est le point 7, et de rayon 13 mm ; on sait que le point 6 est sur ce cercle.

Note

   En faisant ceci, on remplace un arc courbe par un segment de droite (une corde) de même longueur. Si l'on a découpé le cercle en suffisamment d'arcs, l'erreur commise est négligeable. On vérifiera quand même sur le développement final que la longueur développée totale est correcte.

On détermine la VG de la distance S.6, par la méthode de la droite carrée ; on trouve 95 mm. Sur le développement, on trace un cercle de centre S et de rayon 95 mm ; l'intersection avec le cercle précédent donne le point 6.

On trace ensuite la génératrice (S.6). Le point F se trouve sur cette droite. La VG de la distance SF est déterminée par la droite carrée, ce qui permet de placer F sur le développement.

On construit les points suivants de la même manière.

Un tronc de cône incliné permet de raccorder deux tuyaux d'axes parallèles et de diamètres différents. Cas d'un sommet inaccessible

Si l'apothème est très importante, et en particulier si le diamètre du cercle du haut est peu différent de celui du bas, il n'est pas possible de faire figurer le sommet sur la feuille. Si l'on veut travailler graphiquement, il faut donc trouver une alternative.

Nous prenons ci-dessous le cas de cônes droits, mais la méthode peut se généraliser aux cônes obliques. Approximation des trapèzes Développement d'un tronc de cône par approximation des trapèzes Améliorations du tracé

La première méthode consiste à considérer une tôle pliée en 3 inscrite dans le cône. Chaque portion est un trapèze dont la grande base a pour longueur le diamètre D du grand cercle, et la petite base celui du petit cercle, d. La longueur des côtés est celle d'une génératrice. Un tel trapèze est simplement la vue frontale du tronc de cône.

Si l'on place ces trois trapèzes l'un à côté de l'autre, alors on voit que l'on a une approximation du développé réel :

   la longueur de la ligne de base est 3×D ≃ π×D, la longueur développée de la base ;
   la longueur de la ligne du haut est 3×d ≃ π×d, la longueur développée de cercle supérieur ;
   la longueur des génératrices est respectée.

Pour améliorer le tracé, il faut :

   rallonger la figure d'une quantité (π-3)×D ≃ 0,14×D, réparti équitablement à gauche et à droite ;
   doubler le nombre de points : on rajoute des points intermédiaires en prenant l'intersection entre :
       l'axe de symétrie du trapèze, et
       la bissectrice entre la base et la perpendiculaire au pli.

Approximation des diagonales Développement d'un tronc de cône par approximation des diagonales.

La deuxième méthode consiste à construire les génératrices l'une après l'autre, de proche en proche, en considérant que les diagonales qui joignent les génératrices sont rectiligne (alors qu'elles suivent en réalité la courbe du cône). Cela revient à remplacer le cône par une pyramide à base n-gonale (dodécagonale si l'on prend 12 génératrices).

Sur le vue horizontale, on sépare le grand cercle en 12 parts égales, on trace les génératrices, puis on les reporte sur la vue frontale. Les points sont numérotés de 1 à 12 sur le grand cercle et de a à g sur le petit cercle.

La génératrice [10'.j' ] est en vraie grandeur ; si le plan de coupe était incliné, on pourrait projeter toutes les génératrices sur celle-ci, ou bien utiliser une droite carrée.

On trace une diagonale, par exemple [12.a] et [12'.a' ]. On détermine la vraie grandeur de cette diagonale, à l'aide d'une droite carrée. Là encore, si le plan de coupe était oblique, on déterminerait la VG de toutes les diagonales séparément.

Pour développer le tronc de cône :

   On trace la génératrice du milieu (la plus longue si le plan de coupe est oblique), [1.A], verticale et au centre.
   On reporte la longueur de la diagonale depuis A (arc de cercle de centre A et de rayon la VG de la diagonale) ; on reporte la longueur développée d'un arc du grand cercle compris entre deux génératrices (arc de cercle de centre 1 et de rayon π×D/12) ; l'intersection des deux donne le point 12 (ainsi que le point 2 de l'autre côté).
   On reporte la vraie grandeur d'une génératrice depuis 12 (arc de cercle de centre 12 et de rayon la VG de la génératrice) ; on reporte la longueur développée d'un arc du petit cercle compris entre deux génératrices (arc de cercle de centre A et de rayon π×d/12) ; l'intersection des deux donne le point L.

On continue ainsi de proche en proche. Dans l'idéal, on utilise trois compas qui gardent la même ouverture.

Cette méthode permet de tracer directement la développée d'un cône tronqué par un plan oblique. Pour une telle situation, on peut aussi développer un cône droit par la méthode des trapèzes, puis reporter les génératrices. Raccordements plus complexes Raccordement d'une section carrée à une section circulaire Raccordement d'un carré à un cercle

Prenons un exemple courant : une trémie a une extrémité carrée, l'autre est circulaire (ce qui permet de s'adapter à un tuyau). On parle de « raccordement de deux sections parallèles, l'une circulaire, l'autre polygonale. »

La pièce finale peut se décomposer en quatre triangles plans, et quatre quarts de cône obliques. Les quarts de cône sont en fait réalisées par pliage ; ce sont des pyramides qui approchent des cônes. De fait, la trémie est réalisée en deux parties qui sont ensuite soudées.

Travail demandé

Développer un trémie a base rectangle. Développement d'une demie trémie

Démarche

On divise le cercle en parties égales. On détermine les lignes de soudure, F.1 et C.7.

On trace le triangle (partie plane) : le côté [AB] est en VG sur les deux vues, en déterminant sa hauteur, qui est aussi la VG de [F.1] et de [C.7].

Puis, on développe les quarts de cône obliques, de sommet respectifs A et B, de la manière habituelle. La longueur AF est en VG sur la vue horizontale, la distance F.1 a déjà été déterminée, ce qui permet de tracer F à partir des points A et 1.

Pour réaliser les portions de cônes, on utilise en général 12 plis de 7,5 ° chacun, on divise donc chaque quart de cercle en 12 parties (et non en 3 comme ici).

   Trémie idéale, raccordant une section carrée à une section parfaitement circulaire.
   Trémie réelle, réalisée par pliage

Les techniques de traçage vues permettent de résoudre tous les cas : raccordement de deux sections polygonales, raccordement de sections non parallèles, … Raccordement de sections sur des plans concourants

Nous avons vu le développement d'un cylindre et d'un cône biseautés. Ce sont des formes simples à développer et à fabriquer (roulage), donc si possible, on essaie de se ramener à un de ces cas. Mais ce n'est pas toujours possible. Coude en plusieurs parties Méthode des sphères sécantes Sections circulaires d'un cylindre et d'un cône avec une sphère.

Considérons deux tuyauteries d'axes tangents que l'on veut raccorder par un coude. On utilise la propriété suivante :


Théorème des sphères auxiliaires

Soit un cylindre, et une sphère \mathcal{S} coupant ce cylindre. S'ils ont un cercle commun \mathcal{C}_1, alors ils se coupent suivant un second cercle \mathcal{C}_2.

Soit un cône, et une sphère \mathcal{S} coupant ce cône. S'ils ont un cercle commun \mathcal{C}_1, alors ils se coupent suivant un second cercle \mathcal{C}_2.

Si les cercles sont parallèles, alors il s'agit d'un cylindre ou d'un cône de révolution. Si les cercles ne sont pas parallèles, alors il s'agit d'un cylindre ou d'un cône oblique.

Ces théorèmes sont à la base de la méthode des sphères auxiliaires.

Exemple

Tuyaux à raccorder

Considérons deux tuyaux de diamètre différent à raccorder. Ils ont des axes concourants ; la longueur d'un des tuyaux est indéfinie.

Démarche

Traçage des sphères auxiliaires

Nous utilisons la méthode dite des « sphères sécantes ».

   Les axes sont reliés par un arc de cercle de centre I. Le point I est sur le plan du haut du tuyau horizontal. Il est à équidistance des axes des deux tuyaux, qui est ici la distant du haut du tuyau vertical à l'axe du tuyau horizontal. Cela définit l'extrémité du tuyau horizontal.
   L'arc de cercle est coupé en 3×2 = 6 parties égales, ce qui permet de définir 3 secteurs angulaires de même angle et leurs bissectrices.
   Les sphères coupant les tuyaux sont centrées sur les axes des tuyaux, ce qui permet d'avoir une section de sphère circulaire correspondant à la section du tuyau. Ces sphères sont également centrées sur les bissectrices des secteurs angulaires. Les centres de toutes les sphères sont sur un arc de cercle de centre I.
   La sphère du milieu est donc sur l'arc de cercle définit ci-dessus, et sur la bissectrice du secteur angulaire central. Son rayon est déterminé par une progression linéaire (loi proportionnelle) ; dans le cas présent, c'est simplement la moyenne des rayons des sphères extrêmes, mais on peut l'obtenir graphiquement en traçant deux segments parallèles de rayon R1 et R3, le segment de longueur R2 se situant entre les deux.

Dessin du coude

Grâce aux sphères, nous pouvons tracer trois parties de coudes qui seront faciles à développer puisque, en vertue du théorème vu précédemment, nous savons que ce sont des troncs de cône obliques.

Bien évidemment, si les deux tuyaux sont de même diamètre, la méthode nous donne trois cylindres obliques tronqués. Mais pour les coudes cylindriques, on utilise une autre méthode. Méthode des sphères tangentes Surface développable tangente à deux sphères.

Mentionnons quelques propriétés :


Propriété

Un cylindre tangent à une sphère est un cylindre de révolution.

Une surface développable tangente à deux sphères de centre différent et de même rayon est un cylindre de révolution.


Propriété

Un cône tangent à une sphère est un cône de révolution.

Une surface développable tangente à deux sphères de rayons différents, la petite sphère n'étant pas incluse dans la grande, est un cône de révolution. Raccordement de sections circulaires quelconques

Si l'on doit raccorder deux sections circulaires quelconques, rien ne garantit que l'on a un cylindre ou un cône. Il faut alors préciser la notion de génératrice, sachant que d'un point de vue pratique, les pièces seront réalisées par pliage et qu'une génératrice correspond à un pli.


Définition

Une génératrice d'une surface développable est une droite de contact entre la surface et un plan tangent à cette surface.

On ne peut pas définir de génératrice pour toutes les surfaces gauches ; mais nous pouvons toujours définir des génératrices pour les surfaces développables, voir pour cela l'article de Wikipédia Surface réglée > Plan tangent. Raccordement d'une section circulaire et d'une section elliptique

Pour pourvoir tracer le raccordement d'un cercle à une ellipse, il faut s'intéresser à quelques propriétés géométriques.


propriété 1

Soit un plan tangent au raccordement. La ligne de contact est une génératrice du raccordement.

Ceci vient du fait que l'on utilise une surface développable pour le raccordement.


Corollaire

le plan tangent à la surface est tangent au cercle et à l'ellipse.


propriété 2

La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.

C'est une propriété bien connue du cercle. Grand rayon a et petit rayon b


propriété 3 (rappel)

On peut approcher le périmètre p d'une ellipse par la formule

   p \simeq \pi \sqrt{ 2 (a^2 + b^2) - \frac{1}{2} (a - b)^2 }

où a est le grand rayon et b le petit rayon.

Cela va servir à diviser l'ellipse en parties égales. Méthode des cercles inscrit (haut) ou circonscrit (bas)


propriété 4

La tangente à une ellipse peut s'obtenir à l'aide du cercle inscrit ou du cercle circonscrit ; soit un point A de l'ellipse,

   avec le cercle inscrit :
       on trace la parallèle au grand axe en A et on cherche son intersection avec le cercle inscrit ; cela définit le point A1,
       on trace la tangente au cercle en A1, cette tangente coupe le petit axe en A2,
       la droite (AA2) est la tangente à l'ellipse en A ;
   avec le cercle circonscrit :
       on trace la parallèle au petit axe en A et on cherche son intersection avec le cercle circonscrit ; cela définit le point A1,
       on trace la tangente au cercle en A1, cette tangente coupe le grand axe en A2,
       la droite (AA2) est la tangente à l'ellipse en A.


propriété 5

Par deux droites parallèles non confondues passe un seul et unique plan.

Ainsi, si l'on a une tangente au cercle qui est parallèle à une tangent à l'ellipse, elles définissent un plan tangent au raccordement.

Travail demandé

Tuyaux d'axes non coplanaires et de diamètres différents à raccorder.

Dessiner le raccordement de deux tuyaux d'axes non coplanaires et de diamètres différents, et développer la tôle. Détermination d'un système de génératrices.

Démarche

La première étape consiste à déterminer un système de génératrices. Pour cela, on détermine un système de plans tangents au cercle et à l'ellipse. Il est facile de tracer la tangente à un cercle ayant une orientation donnée ; on commence donc par tracer les tangentes à l'ellipse.

On divise l'ellipse en 12 arcs égaux, donc de longueur

   p/12 \simeq \pi \sqrt{ 2 (25^2 + 17,5^2) - \frac{1}{2} (25 - 17,5)^2 }/12 \simeq 11\ \mathrm{mm}

que l'on reporte au compas. On numérote les points de 1 à 12.

Les tangentes aux points 1, 4, 7 et 10 sont horizontales ou verticales ; les points correspondant sur le cercle se trouvent donc sur les axes horizontaux et verticaux. Cela définit les points a, d, g et j, et donc les génératrices [a.1], [d.4], [g.7] et [j.10].

Considérons un autre point de l'ellipse, par exemple le point 2. On trace sa tangente avec la méthode du cercle inscrit. Puis, on trace la perpendiculaire à cette tangente qui passe par le centre du cercle. Cela définit le point b. Traçage de la tôle développée

La pièce n'est ni un cylindre, ni un cône, elle va donc s'obtenir par pliage, et doit être en deux parties. La pièce ne présente pas de symétrie. Pour éviter de souder le long des génératrices les plus longues, [G.7] et [H.8], on choisit comme lignes de soudure les génératrices [D.4] et [J.10]. On commence le développement par [G.7] (choix arbitraire).

On utilise la méthode des diagonales.