Utilisateur:Antoinel/essai/équations différentielles

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Définition[modifier | modifier le wikicode]

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est la fonction y(x) et où peuvent figurer les fonctions y', y et la variable x.

Exemple :
y' + y = 0
y + 2y = 0
y' - 2xy = -3

Equation différentielle du premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle comporte la fonction inconnue ainsi que sa dérivée première.



Exemple : y' + 2y = 0

Equation différentielle linéaire du premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Touté équation différentielle du premier ordre qui peut se mettre sous la forme :
A(x)y' + B(x)y = C(x) (ici avec second membre) ou
A(x)y' + B(x)y = 0 (ici sans second membre)
est une équation linéaire.


Exemple : 4y' + 2y = 3x + 1
y' + cos(y) = 0 n'est pas une équation linéaire.
(voir Équation linéaire)

Résolution[modifier | modifier le wikicode]

Equation sans second membre[modifier | modifier le wikicode]

xy' - y = 0

  • 1ère méthode :
    xy' = y
    y'/y = 1/x
    ln(y) = ln|x| + k
    y(x) = exp(ln|x| + k)
    y(x) = Kx (avec K = K1 si x>0 ou K = -K1 si x<0)

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre xy' + 2y = 0

Equation différentielle du deuxième ordre[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation différentielle contenant y et éventuellement y', y et la variable x

Exemple: xy - y = 0