Utilisateur:Antoinel/essai/équations différentielles
Définition[modifier | modifier le wikicode] |
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Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est la fonction y(x) et où peuvent figurer les fonctions y', y et la variable x. |
Exemple :
y' + y = 0
y + 2y = 0
y' - 2xy = -3
Equation différentielle du premier ordre
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Définition[modifier | modifier le wikicode] |
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Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle comporte la fonction inconnue ainsi que sa dérivée première. |
Exemple : y' + 2y = 0
Equation différentielle linéaire du premier ordre
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Définition[modifier | modifier le wikicode] |
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Touté équation différentielle du premier ordre qui peut se mettre sous la forme : |
Exemple : 4y' + 2y = 3x + 1
y' + cos(y) = 0 n'est pas une équation linéaire.
(voir Équation linéaire)
Résolution
[modifier | modifier le wikicode]Equation sans second membre
[modifier | modifier le wikicode]xy' - y = 0
- 1ère méthode :
xy' = y
y'/y = 1/x
ln(y) = ln|x| + k
y(x) = exp(ln|x| + k)
y(x) = Kx (avec K = K1 si x>0 ou K = -K1 si x<0)
Exercices
[modifier | modifier le wikicode]Résoudre xy' + 2y = 0
- xy' + 2y = 0
xy' = -2y
y'/y = -2/x
ln(y(x)) = -2ln x + k
y(x) = exp(-2ln(x))exp(k)
y(x) = Kx^-2 = K/x^2
Equation différentielle du deuxième ordre
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Définition[modifier | modifier le wikicode] |
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Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation différentielle contenant y et éventuellement y', y et la variable x |
Exemple: xy - y = 0