Utilisateur:RM77/Bac a sable2

Charge

$u_{c}(0)=0\,$

Equation différentielle

D'après la loi d'additivité des tensions, $E=u_{R}+u_{c}\,$
on a $u_{R}=Ri\,$
d'où $E=Ri+u_{c}\,$
on a $q=Cu_{c}\,$ d'où $i={\frac {dq}{dt}}={\frac {d(Cu_{c})}{dt}}=C{\frac {du_{c}}{dt}}$

Equation différentielle du circuit RC :
${\frac {E}{RC}}={\frac {du_{c}}{dt}}+{\frac {1}{RC}}u_{c}$

Solution

La solution de cette équation différentielle est de la forme $u_{c}(t)=Ae^{-kt}+B\,$
quand $t\rightarrow \infty ,u_{c}=B$

${\frac {d}{dt}}(Ae^{-kt}+B)+{\frac {1}{RC}}(Ae^{-kt}+B)={\frac {E}{RC}}$

$-kAe^{-kt}+{\frac {1}{RC}}(Ae^{-kt}+B)={\frac {E}{RC}}$

$Ae^{-kt}(-m+{\frac {1}{RC}})+{\frac {1}{RC}}B={\frac {E}{RC}}$

$\forall t,{\begin{cases}-m+{\frac {1}{RC}}=0\\B=E\end{cases}}$

d'où $k={\frac {1}{RC}}$

Les conditions initiales donnent A :
à $t=0,u_{c}(0)=0=A+E\,$ d'où $A=-E\,$

Solution de l'équation différentielle :
$u_{c}(t)=-Ee^{-kt}+E\,$
soit <math>u_c(t) = E(1-e^{-\frac{t}{RC}})