Préliminaires

Emploi des lettres

L'algèbre a pour objectif de résoudre et de généraliser les questions sur les nombres. Pour atteindre ce but, l'algèbre représente les nombres par les lettres de l'alphabet : $a,b,c,d,...,x,y,z$ . Si plusieurs nombres sont représentés par la même lettre, on marque cette lettre de signes particuliers appelés indices. Ainsi les expressions : $a',a'',a^{IV},a^{V},a^{VI},...$ et $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},...$ expriment des nombres distincts. Les premières se lisent : a prime, a seconde, a tierce, a quarte, ... et les secondes, a indice un, a indice deux, a indice trois, etc.

Des signes algébriques

Les signes de l'addition et de la soustraction sont les mêmes qu'en arithmétique. Ainsi on représentera par $a+b$ la somme des nombres $a$ et $b$ , et par $a-b$ leur différence. Les nombres précédés du signe $-$ sont négatifs, et les autres sont positifs.

Le produit des deux nombres $a$ et $b$ peut se représenter indifféremment par : $ab$ , $a.b$ , $a\times b$ .

L’expression $abcd$ est donc identique aux suivantes : $a.b.c.d$ et $a\times b\times c\times d$ .

On indique la division de $a$ par $b$ en écrivant : $\frac{a}{b}$ ou $a:b$.

Ces expressions se lisent respectivement : a sur b et a divisé par b.

Les signes de l'inégalité sont $>$ et $<$ ; ils se lisent : plus grand que et plus petit que.

Pour indiquer que deux nombres $a$ et $b$ sont inégaux, on écrit : $a > b$ ou $a < b$ selon que $a$ est le plus grand ou le plus petit des deux nombres.

Le signe de l'égalité est $=$ qu'on prononce égale. On place ce signe entre deux quantités qui ont la même valeur numérique. L'expression $a=b$ est une égalité.

Dans une égalité, tout ce qui précède le signe $=$ est le premier membre, tandis qu'on appelle deuxième membre tout ce qui est placé après ce signe.

Pour indiquer l'extraction de la racine d'un nombre, on recouvre ce nombre du signe $\sqrt$ appelé radical ; entre les branches de ce signe, on place un nombre appelé indice de la racine, qui indique quelle espèce de racine on doit extraire. Ainsi les expressions $\sqrt[3]{a}, \sqrt[5]{a^2b}, \sqrt[12]{c^5}$ représentent respectivement la racine cubique de $a$, la racine cinquième de $a^2b$ et la douzième de $c^5$. La racine carrée d'un nombre $a$ se représente sans indice par $\sqrt{a}$. D'une manière générale, chercher la racine n-ième d'un nombre revient à chercher une valeur qui, élevée à la puissance $n$, donne le nombre initial.

On appelle coefficient un nombre placé à gauche d'une quantité et qui indique combien de fois cette quantité est prise comme partie d'une somme.

D'après cette définition, on a : $5a=a+a+a+a+a$ et $\frac{4}{4}a=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{4}$.

On appelle exposant un nombre placé à droite et en haut d'une lettre, et qui exprime combien le nombre représenté pa cette lettre est pris de fois comme facteur d'un produit.

De cela, il résulte que $a^5=a.a.a.a.a$. De même on peut écrire : $5a^3b^2c=5.a.a.a.b.b.c$.

Les expressions $a^2, a^3, a^4, a^5, ..., a^n$, se lisent respectivement a au carré, a au cube, a (puissance) 4, a (puissance) 5, etc.

Expressions algébriques

Une expression algébriqueest l'indication d'un certain nombre d'opérations à effectuer sur des lettres. Ainsi les expressions $a+b, 3a^2b, \frac{a}{b}, \sqrt[3]{a^4-b^5}$ sont des expressions algébriques.

On nomme terme toute expression algébrique dont les parties ne sont pas réunies par l'un des signes $+$ ou $-$. Ainsi dans l'expression algébrique $a-b+15a^5b^2x^3-7a^2b^3x^2+9ab^2x-1$ il y a six termes qui sont : $a, -b, +15a^5b^2x^3, -7a^2b^3x^2, +9ab^2x, -1$.

Un monôme est une expression algébrique qui n'a qu'un seul terme, comme par exemple $a, a^5x^4, \frac{4a}{9}n \frac{6a^3b^2c}{5(a+b)}$.

On appelle polynôme toute expression algébrique qui a plus d'un terme. Parmi les polynômes, on distingue le binôme qui a deux termes, le trinôme qui en a trois. Ainsi, les expressions suvantes : $a+b, a^2+2ax+x^2, x^3-3ax^2+3ax^2-a^3$, sont des polynômes. Le premier est un binôme et le second est un trinôme.

Des polynômes entiers en $x$

Un polynôme en $x$ est entier par rapport à cette lettre lorsque tous les exposants de $x$ sont entiers et positifs et que cette lettre ne figure pas en dénominateur ni sous un radical.

Le polynôme $45a^2x^2-13b^2x+8a^2b^2-1$ est un entier en $x$, tandis que les suivants ne le sont pas : $\frac{45a^2}{x^2}-13b^2x, 45a^2x^{-2}-9a^3x^4+1, 67a^2x^2+43a^3\sqrt{x}$.

Le degré d'un terme entier en $x$ est l'exposant de $x$ dans ce terme. Les degrés des termes suivants : $a^2x, a, x^4, 15a^3x^2, \frac{11x^3}{7}, \frac{ax^5}{b}, ax^n$ sont respectivement : 1, 0, 4, 2, 3, 5, $n$.

Le degré d'un polynôme entier en $x$ est donné par le plus fort exposant de $x$ dans ce polynôme. Ainsi, le polynôme suivant : $4a^3x^4-3a^4x^3+2a^5x^2-ax+11$ est du quatrième degré.

Ordonner un polynôme, c'est disposer ses termes de manière que les exposants de l'une de ses lettres soient placés par ordre croissant ou décroissant de grandeur. Ainsi le polynôme $ax^2-bx^4+1+cx^3+dx^6-x^5$ étant ordonné par rapport à $x$, prendra les deux formes suivantes : $dx^6-x^5-bx^4+cx^3+ax^2+1$, $1+ax^2+cx^3-bx^4-x^5+dx^6$.

Dans le premier cas, le polynôme est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de $x$, et dans le second, il est ordonné par rapport aux puissances croissantes de cette lettre.

La letre par rapport à laquelle on ordonne un polynôme s'appelle lettre ordinnatrice.

Les termes semblables

Plusieurs termes sont semblables lorsqu'ils sont formés avec les mêmes lettres affectées des m^mes exposants, quels que soient leurs coefficients. Les expressions $7a^2, -1,25a^2, \frac{12a^2}{5}, a^2\sqrt{3}$ sont quatre termes semblables.

La réduction des termes semblables consiste à réduire en un seul terme tous les termes semblables d'un polynôme. Pour cela, on fait d'une part la somme des termes semblables positifs, et d'autre part, la somme des termes semblables négatifs, puis on retranche la plus petite somme de la plus grande en donnant au reste le signe de la plus grande.

Ainsi dans le polynôme $11a^3-9a^3+a^2+7a^3-a-5a^3+3a^2+2a^3+4a-1$, $a^3$ doit être pris $11-9+7-5+2=6$ fois, $a^2$ doit être pris $3+1=4$ fois, $a$ doit être pris $4-1=3$ fois, de sorte que le polynôme proposé se réduit à $6a^3+4a^2+3a-1$.

Valeur numérique des expressions algébriques

La valeur numérique d'une expression algébrique est la valeur que prend cette expression lorsqu'on remplace ses lettres par les nombres qu'elles représentent. Soit par exemple à trouver la valeur numérique de $a^3-3a^2x^2y^2+3ax^4y^4-x^6y^6$ sachant que $a=10$, $x=2$, $y=1$. En remplaçant chaque lettre par sa valeur, on trouve pour valeur numérique de ce polynôme $1°^3-3\times10^2\times2^2+3\times10\times2^4-2^6=1000-1200+480-64=216$.

Exercices

Exerice 1

Montrez la différence qu'il y a entre les expressions suivantes :

3\times4$ et $3^4$
$5a$ et $a^5$
$na$ et $a^n$
$2(a+b)$ et $(a+b)^2$

Exercice 2

Lire les expressions suivantes :

$a^2$, $a^7$
$a^3b^4c^2$
$\sqrt{a^3}$
$\sqrt[3]{-a^5}$, $\sqrt{a^6}$
$na^m$, $a^nb$
$\frac{a}{b}$, $\frac{3a^m}{4b^n}$

Exercice 3

Définir les expressions suivantes :

$5a$
$\frac{3a}{8}$
$a^3$
$3a^4$

Exercice 4

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Addition et soustraction algébriques

Dans l'addition et la soustraction algébriques, on distingue deux cas :

addition et soustraction des monômes ;
addition et soustraction des polynômes.

Addition des monômes

Pour obtenir la somme de plusieurs monômes, on les écrit à la suite les uns des autres avec leurs signes, puis on fait la réduction des termes semblables lorsqu'il y en a.

Soit à additionner les monômes suivants : $5a, b^2, -4a, 9b^2, 15a^2, -11a^2$. Leur somme est évidemment $5a+b^2-4a+9b^2+15a^2-11a^2$ ou, en intervertissant l'ordre des termes, $5a-4a+b^2+9b^2+15a^2-11a^2$ et après réduction, $a+10b^2+4a^2$.

Addition des polynômes

La somme de plusieurs polynômes s'obtient en écrivant tous leurs termes à la suite les uns des autres, chacun vec son signe, et en effectuant la réduction des termes semblables.

Soit le polynôme $a-b$, auquel on doit ajouter un autre polynôme $c-d$.

Si au polynôme $a-b$ on ajoute $c$, on ajoute $d$ de trop, parce que $a-b$ doit être augmenté seulement de l'excès de $c$ sur $d$. La somme $a-b+c$ doit donc être diminuée de $d$, et devient $a-b+c-d$.

Dans la pratique, on facilite la réduction des termes semblables, en appliquant la règle suivante.

Pour faire la somme de plusieurs polynômes, on les écrit les uns sous les autres, de manière que leurs termes semblables se correspondent, puis on en fait la réduction.

Ainsi pour faire la somme des trois polynômes $6a^2x^2+x^4+a^4-4a^3x-4ax^3+9$, $7ax^3-7a^2x^2+5a^3x+3a^4-x^4-5$ et $2a^4-a^3x+2a^x^2-10ax^3-3x^4-3$ on les dispose comme l'indique la tableau suivant à compléter puis on fait la réduction des termes de chaque colonne. Pour la première colonne de gauche, on dira : $a^4+3a^4+2a^4=6a^4$, pour la deuxième : $-4^3x+5a^3x-a^3x=0$, pour la troisième : $6a^2x^2-7a^2x^2+2a^2x^2=a^2x^2$ et ainsi de suite. La somme cherchée est $6a^4+a^2x^2-7ax^3-3x^4+1$.

Lorsqu'on veut indiquer l'addition de plusieurs polynômes, on met chacun d'eux dans une parenthèse, puis on écrit ces parenthèses à la suite les unes des autres, en les séparant par le signe +. D'après cela, pour indiquer la somme des polynômes $a-b+x-d$, $b-c+d-a$, $c-d+a-b$ on écrira : $(a-b+x-d)+(b-c+d-a)+(c-d+a-b)$.

Soustraction des monômes

Pour soustraire un monôme $b$ d'une quantité $a$, il suffit de changer le signe de $b$ et de l'ajouter à $a$.

En effet, d'après la définition arithmétique de la soustraction, la différence cherchée ajoutée à $b$ doit reproduire $a$ ; cette différence ne peut donc être que $a-b$, puisque $b+(a-b)=a$. Soit encore à soustraire $-b$ de $a$. La différence cherchée est $a+b$, car si on ajoute cette expression à $-b$, on trouve $-b+(a+b)=-b+a+b=a$.

On déduit de là les corollaires suivants.

Retrancher $-b$, c'est ajouter $+b$, puisqu'on a $a-(-b)=a+b$.

Ajouter $-b$, c'est retrancher $b$, car $a+(-b)=a-b$.

Il résulte encore de la règle précédente que l'on a :

$-(-a)=+a$
$-(+a)=-a$
$+(-a)=-a$
$10-(-20)=10+20=30$
$11a^2b-(-4a^2b)=11a^2b+4a^2b=15a^2b$

Soustraction des polynômes

Pour obtenir la différence de deux polynômes, on change les signes de tous les termes du polynôme à soustraire, et on l'ajoute, ainsi modifié, à l'autre polynôme.

Soit à soustraire $a-b$ de $c+d$. La différence cherchée est $c+d-a+b$, car si à cette quantité on ajoute $a-b^$, on obtient $(c+d-a+b)+(a-b)=c+d$.

Application

Trouver la différence des deux polynômes $4a^3-4b^3-2a^2b+3ab^2$ et $3a^2b-3ab^2+3a^3-4b^3$.

On change les signes du second polynôme qui devient : $-3a^2b+3ab^2-3a^3+4b^3$ puis on l'ajoute au premier. On trouve ainsi : $4a^3-4b^3-2a^2b+3ab^2-3a^2b+3ab^2-3a^3+4b^3$ et après réduction, $a^3-5a^2b+6ab^2$ qui est la différence cherchée.