Utilisateur:Savant-fou/Maths 4e/Multiplication et division de nombres relatifs

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En classe de cinquième, nous avons apprit ce qu'est un nombre relatif. Ce sont les nombres qui comportent un signe : positif (+) ou négatif (-). On peut les représenter sur une droite graduée : les nombres négatifs sont en-dessous de zéro, les nombres positifs sont au-dessus de zéro. Nous avions vu comment les additionner et les soustraire.

Rappels de cinquième[modifier | modifier le wikicode]

Addition de nombres relatifs

  • Si les deux nombres sont de mêmes signes, on obtient le résultat en gardant le signe et en en ajoutant les « valeurs » sans signe. Exemple :  ; les deux nombres sont de signe « - », donc le résultat sera de signe « - » et vaudra .
  • Si les deux nombres sont de signes différents, on obtient le résultat en gardant le signe de la plus grande « valeur » et en soustrayant la plus petite valeur à la plus grande. Exemple :  ; les deux nombres sont de signes différents. 8 est plus grand que 2, donc le résultat sera du signe de -8, à savoir « - ». Le résultat est


Soustraction de nombres relatifs

Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Exemple : 5+(-2). L'opposé de (-2) est 2. On fait donc et le résultat est .

Multiplication de nombres relatifs[modifier | modifier le wikicode]

Pour effectuer le produit de deux nombres relatifs, on effectue le produit des distances à zéro des deux facteurs. On attribue le signe du résultat d'après la règle des signes.

Règle des signes

  • Le produit de deux nombres de mêmes signes est positif.
  • Le produit de deux nombres de signes différents est négatif.

Par exemple, prenons le produit  : les deux facteurs sont de même signe, donc le résultat sera positif et vaudra . Prenons à présent le produit  : les deux facteurs sont de signes différents, donc le résultat sera négatif et vaudra .

Propriétés de la multiplication[modifier | modifier le wikicode]

La multiplication de 4 par 3 donne le même résultat que la multiplication de 3 par 4.

La multiplication, notée , a les propriétés suivantes :

  • on peut intervertir l'ordre des facteurs sans changer le résultat. Ainsi  ;
  • le produit d'un nombre par 1 donne ce nombre. Ainsi  ;
  • le produit d'un nombre par 0 donne 0. Ainsi .

La multiplication a également la propriété d'être distributive sur l'addition et la soustraction. Soient des nombres relatifs. Dans le calcul , on peut distribuer le sur et . Ainsi, on a les résultats suivants :

Multiplication par [modifier | modifier le wikicode]

Multiplier par , c'est prendre l'opposé du nombre. Ainsi, . Par exemple, ou encore .

Produits de plusieurs facteurs[modifier | modifier le wikicode]

Considérons un produit de plusieurs facteurs, par exemple ou encore . Quel est le signe de cette expression ? Cela va dépendre du nombre de signes « - » et du nombre de signes « + », car on sait que les signes « - » s'annulent deux par deux pour donner un signe positif. On utilise la règle des signes.

Règle des signes

  • Le produit est négatif lorsque le nombre de facteurs négatifs est impair ;
  • Le produit est positif lorsque le nombre de facteurs négatifs est pair.

Notons que d'après ce qui précède, le carré de tout nombre relatif est positif : quelque soit le nombre relatif , . De plus, le cube de tout nombre négatif est négatif : quelque soit le nombre négatif , .

Division de nombres relatifs[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux nombres relatifs (), le nombre qui, multiplié par donne est le quotient . Ainsi, si , alors . Le signe du quotient est donné par la règle des signes.

Règle des signes

  • Le quotient de deux nombres de mêmes signes est positif.
  • Le quotient de deux nombres de signes différents est négatif.

Par exemple, , ou encore .

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

Additions et soustractions de nombres relatifs[modifier | modifier le wikicode]

Distributivité[modifier | modifier le wikicode]

Multiplications de nombres relatifs[modifier | modifier le wikicode]

Divisions de nombres relatifs[modifier | modifier le wikicode]