Utilisateur:Savant-fou/Maths 4e/Multiplication et division de nombres relatifs

En classe de cinquième, nous avons apprit ce qu'est un nombre relatif. Ce sont les nombres qui comportent un signe : positif (+) ou négatif (-). On peut les représenter sur une droite graduée : les nombres négatifs sont en-dessous de zéro, les nombres positifs sont au-dessus de zéro. Nous avions vu comment les additionner et les soustraire.

Rappels de cinquième

Addition de nombres relatifs

Si les deux nombres sont de mêmes signes, on obtient le résultat en gardant le signe et en en ajoutant les « valeurs » sans signe. Exemple : $(-5)+(-2)$ ; les deux nombres sont de signe « - », donc le résultat sera de signe « - » et vaudra $-(5+2)=-7$. Si les deux nombres sont de signes différents, on obtient le résultat en gardant le signe de la plus grande « valeur » et en soustrayant la plus petite valeur à la plus grande. Exemple : $(-8)+(2)$ ; les deux nombres sont de signes différents. 8 est plus grand que 2, donc le résultat sera du signe de -8, à savoir « - ». Le résultat est $-(8-2)=-6$

Soustraction de nombres relatifs

Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Exemple : 5+(-2). L'opposé de (-2) est 2. On fait donc $5+2$ et le résultat est $7$.

Multiplication de nombres relatifs

Pour effectuer le produit de deux nombres relatifs, on effectue le produit des distances à zéro des deux facteurs. On attribue le signe du résultat d'après la règle des signes.

Règle des signes

Le produit de deux nombres de mêmes signes est positif. Le produit de deux nombres de signes différents est négatif.

Par exemple, prenons le produit $(-8)\times (-7)$ : les deux facteurs sont de même signe, donc le résultat sera positif et vaudra $56$. Prenons à présent le produit $(-9)\times 6$ : les deux facteurs sont de signes différents, donc le résultat sera négatif et vaudra $-54$.

Propriétés de la multiplication

La multiplication de 4 par 3 donne le même résultat que la multiplication de 3 par 4.

La multiplication, notée $\times$, a les propriétés suivantes :

• on peut intervertir l'ordre des facteurs sans changer le résultat. Ainsi $a\times b=b\times a$ ;
• le produit d'un nombre par 1 donne ce nombre. Ainsi $a\times 1=a$ ;
• le produit d'un nombre par 0 donne 0. Ainsi $a\times 0=0$.

La multiplication a également la propriété d'être distributive sur l'addition et la soustraction. Soient $k,a,b$ des nombres relatifs. Dans le calcul $k\times (a+b)$, on peut distribuer le $k\times$ sur $a$ et $b$. Ainsi, on a les résultats suivants :

${\color {red}k}\times ({\color {blue}a}+{\color {green}b})={\color {red}k}\times {\color {blue}a}+{\color {red}k}\times {\color {green}b}$

${\color {red}k}\times ({\color {blue}a}-{\color {green}b})={\color {red}k}\times {\color {blue}a}-{\color {red}k}\times {\color {green}b}$

Multiplication par $(-1)$

Multiplier par $(-1)$, c'est prendre l'opposé du nombre. Ainsi, $(-1)\times a=-a$. Par exemple, $(-1)\times 3=-3$ ou encore $(-1)\times (-7)=(-7)$.

Produits de plusieurs facteurs

Considérons un produit de plusieurs facteurs, par exemple $a\times b$ ou encore $a\times b\times c\times d$. Quel est le signe de cette expression ? Cela va dépendre du nombre de signes « - » et du nombre de signes « + », car on sait que les signes « - » s'annulent deux par deux pour donner un signe positif. On utilise la règle des signes.

Règle des signes

Le produit est négatif lorsque le nombre de facteurs négatifs est impair ; Le produit est positif lorsque le nombre de facteurs négatifs est pair.

Notons que d'après ce qui précède, le carré de tout nombre relatif est positif : quelque soit le nombre relatif $a$, $a^{2}=a\times a=\geq 0$. De plus, le cube de tout nombre négatif est négatif : quelque soit le nombre négatif $b$, $b^{3}=b\times b\times b\leq 0$.

Division de nombres relatifs

Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs ($a\neq 0$), le nombre qui, multiplié par $a$ donne $b$ est le quotient ${\frac {b}{a}}$. Ainsi, si $x={\frac {b}{a}}$, alors $a\times x=b$. Le signe du quotient est donné par la règle des signes.

Règle des signes

Le quotient de deux nombres de mêmes signes est positif. Le quotient de deux nombres de signes différents est négatif.

Par exemple, ${\frac {-16}{-2}}=8$, ou encore ${\frac {-12}{3}}=-4$.