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Nombre dérivé d'une fonction en x = a

Introduction

L'accroissement moyen d'une fonction sur un intervalle peut être utile pour une première approche, mais n'est pas forcément représentatif du comportement de la fonction sur cet intervalle. Prenons l'exemple de la fonction ci-dessous :

Entre A et B, les variations de la fonction sont beaucoup plus brutales que ne le laisse apparaître l'accroissement moyen. L'idéal serait de disposer d'un outil plus fin qui rendrait compte de l'accroissement en chaque point. Géométriquement, un tel outil existe : il s'agit de la tangente à une courbe en un point.

Le coefficient directeur de la tangente en un point A est ici la grandeur qui nous intéresse le plus, car il correspond à l'accroissement de la fonction au point A d'abscisse a.

Ce qu'on cherche à faire est donc : trouver un outil permettant d'obtenir l'accroissement d'une fonction, c'est-à-dire le coefficient directeur de la tangente à sa courbe, en tout point de l'intervalle de définition.

Définition du nombre dérivé

→ Activité d'introduction

Soit $a\in I$

La limite de l'accroissement moyen de ƒ entre $a\,$ et $a+h\,$ lorsque $h\,$ tend vers 0 est appelée nombre dérivé de ƒ en $x=a\,$ et noté $f'(a)\,$.

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

En mathématiques, on utilise la notation avec une prime pour désigner la dérivée.

Notation différentielle

En physique, on utilise plus couramment une autre notation, appelée notation différentielle. On note ${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$.

Le symbole « petit d » en physique signifie une petite variation de la grandeur qui suit le d. La notation ${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}(a)$ signifie donc qu'on considère :

• une toute petite variation des valeurs de ƒ (dƒ, qui correspond à $f(a+h)-f(a)\,$ lorsque $h\to 0$)
• divisée par une toute petite variation des valeurs de x autour de a (dx, qui correspond à $(a+h)-(a)\,$ lorsque $h\to 0$)
• le tout au point d'abscisse a

Interprétation graphique

$f'(a)\,$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de ƒ au point A.

Restrictions

Nous verrons par la suite que le nombre dérivé n'est pas toujours défini.

Si, en un point $a\in I,~f'(a)$ existe, on dit que ƒ est dérivable en a.