Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Équations d'Einstein/Relation symétrique/Démonstration

Partant de l'équation d'Einstein sous la forme

$R^i{}_j - \frac{1}{2} g^i{}_j R = \frac{8 \pi k}{c^4} T^i{}_j$

on obtient en contractant, puisque la contraction de $g^i{}_j = \delta^i_j$ vaut 4 :

$-R = \frac{8 \pi k}{c^4} T$

Réinjectant cette formule dans l'Équation d'Einstein, on trouve

$R^{ij} + \frac{1}{2} \frac{8 \pi k}{c^4} g^{ij} T = \frac{8 \pi k}{c^4} T^{ij}$

d'où le résultat.