Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Référentiel tournant II

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[modifier] Changement de coordonnées

Partant d'un référentiel galiléen plan en coordonnées circulairest',r',φ', construisons un référentiel tournant avec la fréquence angulaire ω. La transformation s'écrit

\begin{matrix} t' &=& t \\ r' &=& r \\ \phi' &=& \phi + \omega t \end{matrix}

[modifier] Tenseur métrique

De la relation − c2dt'2 + dr'2 + r'2dφ'2 = gijdxidxj est facile d'obtenir le tenseur métrique dans le référentiel tournant. Il n'est pas diagonal :

\begin{matrix} g_{tt} &=& -c^2 + \omega^2 r^2 \\ g_{t \phi} = g_{\phi t} &=& \omega r^2 \\ g_{r r} &=& 1 \\ g_{\phi \phi} &=& r^2 \end{matrix}

[modifier] Déterminant du tenseur métrique

detg = − c2r2

[modifier] Matrice inverse du tenseur métrique

\begin{matrix} g^{tt} &=& -c^{-2}\\ g^{t \phi} = g^{\phi t} &=& c^{-2} \omega\\ g^{rr} &=& 1 \\ g^{\phi\phi} &=& r^{-2} - c^{-2} \omega^2 \end{matrix}

[modifier] Dérivées partielles du tenseur métrique

\begin{matrix} g_{tt,r} &=& 2 \omega^2 r \\ g_{t\phi,r} = g_{\phi t,r} &=& 2 \omega r \\ g_{\phi\phi,r} &=& 2 r \end{matrix}

[modifier] Symbole de Christoffel

\begin{matrix} \Gamma_{t|tr} = \Gamma_{t|rt} &=& \omega^2 r \\ \Gamma_{t|r\phi} = \Gamma_{t|\phi r} &=& \omega r \\ \Gamma_{r|tt} &=& - \omega^2 r \\ \Gamma_{r|t\phi} = \Gamma_{\phi|\phi t} &=& - \omega r \\ \Gamma_{\phi|tr} = \Gamma_{\phi|rt} &=& \omega r\\ \Gamma_{r|\phi\phi} &=& -r \\ \Gamma_{r|r\phi} = \Gamma_{\phi|\phi r} &=& r \end{matrix}

\begin{matrix} \Gamma^r_{tt} &=& - \omega^2 r \\ \Gamma^r_{t\phi} = \Gamma^r_{\phi t} &=& - \omega r \\ \Gamma^r_{\phi\phi} &=& -r \\ \Gamma^\phi_{tr} = \Gamma^\phi_{rt} &=& \omega r^{-1} \\ \Gamma^\phi_{r\phi} = \Gamma^\phi_{\phi r} &=&r^{-1} \end{matrix}

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