Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Divergence

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En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit (\nabla \cdot \mathbf{v})^i = \frac{1}{r} \partial_i \left(r v^i\right).

Dans la base naturelle, on a

\begin{matrix} \mathbf{v} &=& v^r \mathbf{e}_r &+& v^\phi \mathbf{e}_\phi &+& v^z \mathbf{e}_z \\ \nabla \cdot \mathbf{v} &=& \left(\frac{1}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right) v^r &+& \frac{\partial}{\partial \phi} v^\phi &+& \frac{\partial}{\partial z} v^z \end{matrix}

et donc dans la base orthonormée \left(\mathbf{e}_r, \frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r}, \mathbf{e}_{z} \right):

\begin{matrix} \mathbf{v} &=& v^r \mathbf{e}_r &+& \left\{r v^\phi\right\} \left\{\frac{\mathbf{e}_\phi}{r}\right\} &+& v^z \mathbf{e}_z \\ \nabla \cdot \mathbf{v} &=& \left(\frac{1}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right) v^r &+& \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \phi} \left\{r v^\phi\right\} &+& \frac{\partial}{\partial z} v^z \end{matrix}

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