Calcul tensoriel/Espace euclidien

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1 Coordonnées cylindriques
2 Coordonnées sphériques

[modifier] Coordonnées cylindriques

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise ici la lettre $φ$ à la place de la lettre $θ$ . Voir une page sur les conflits de notations.

[modifier] Tenseur métrique

En coordonnées cylindriques $\left(r, \phi, z\right)$ , le carré d'un élément de longueur vaut $dl^2 = dr^2 + r^2 \; d\phi^2 + dz^2$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $\sqrt{\det{g}} = r$ .

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{r^2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$

Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\phi, \mathbf{e}_z\right)$ est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf{e}_r, \frac{\mathbf{e}_\phi}{r}, \mathbf{e}_z\right)$ .

[modifier] Symbole de Christoffel

Le seul terme non constant du tenseur métrique en coordonnées cylindriques est $g φφ = r 2$ , et l'on a $g φφ, r = 2 r$ . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

$\begin{matrix} \Gamma^{r}_{\phi\phi} & = & -r\\ \Gamma^{\phi}_{r\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi r} &=& \frac{1}{r} \end{matrix}$

[modifier] Gradient

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient $g^{ij} f_{;i} \mathbf{e}_j$ d'un champ scalaire $f$ s'écrit

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r^2}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_{\phi} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_{z}$

Soit, dans la base orthonormée,

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi}\left\{\frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r}\right\} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_{z}$

[modifier] Divergence

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit $(\nabla \cdot \mathbf{v})^i = \frac{1}{r} \partial_i \left(r v^i\right)$ .

Dans la base naturelle, on a

$\begin{matrix} \mathbf{v} &=& v^r \mathbf{e}_r &+& v^\phi \mathbf{e}_\phi &+& v^z \mathbf{e}_z \\ \nabla \cdot \mathbf{v} &=& \left(\frac{1}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right) v^r &+& \frac{\partial}{\partial \phi} v^\phi &+& \frac{\partial}{\partial z} v^z \end{matrix}$

et donc dans la base orthonormée $\left(\mathbf{e}_r, \frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r}, \mathbf{e}_{z} \right)$ :

$\begin{matrix} \mathbf{v} &=& v^r \mathbf{e}_r &+& \left\{r v^\phi\right\} \left\{\frac{\mathbf{e}_\phi}{r}\right\} &+& v^z \mathbf{e}_z \\ \nabla \cdot \mathbf{v} &=& \left(\frac{1}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right) v^r &+& \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \phi} \left\{r v^\phi\right\} &+& \frac{\partial}{\partial z} v^z \end{matrix}$

[modifier] Laplacien

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques,

pour un champ scalaire $f$ , le laplacien

$\nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_i\left( \sqrt{\det g} \; g^{ij} \partial_j f \right)$

s'écrit

$\nabla^2 f = \left( \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) f$

pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise échange ici les symboles $φ$ et $θ$ , et on utilise la colatitude $θ$ à la place de la latitude $φ$ . Voir une page sur les conflits de notations.

[modifier] Tenseur métrique

En coordonnées sphériques $\left(r, \theta, \phi\right)$ , où $φ$ est l'angle azimutal et $\theta \in \left[0, \pi\right]$ est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut $dl^2 = dr^2 + r^2 \; d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2 \sin^2\theta \end{matrix}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $\sqrt{\det{g}} = r^2 \sin\theta$ .

L'inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^{-2} & 0\\ 0 & 0 & r^{-2}\sin^{-2}\theta & \end{matrix}\right)$

Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_{\theta}, \mathbf{e}_{\phi}\right)$ est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf{e}_r, \frac{\mathbf{e}_{\theta}}{r}, \frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r \sin\theta}\right)$ .

[modifier] Symbole de Christoffel

Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont $g θθ = r 2$ , $g φφ = r 2 sin 2 θ$ , et l'on a $g θθ, r = 2 r$ , $g φφ, r = 2 r sin 2$ , $g φφ,θ = 2 r 2 cosθsinθ$ . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

$\begin{matrix} \Gamma^{r}_{\theta\theta} & = & -r\\ \Gamma^{r}_{\phi\phi} & = & -r \sin^2\theta\\ \Gamma^{\theta}_{r\theta} = \Gamma^{\theta}_{\theta r} &=& r^{-1}\\ \Gamma^{\theta}_{\phi \phi} &=& -\cos\theta \sin\theta\\ \Gamma^{\phi}_{r\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi r} &=& r^{-1}\\ \Gamma^{\phi}_{\phi\theta} = \Gamma^{\phi}_{\theta\phi} &=& -\cot\theta \end{matrix}$

[modifier] Gradient

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, le gradient $g^{ij} f_{;i} \mathbf{e}_j$ d'un champ scalaire $f$ s'écrit

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_{\theta} + \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_{\phi}$

Soit, dans la base orthonormée

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{\partial f}{\partial \theta}\left\{\frac{\mathbf{e}_{\theta}}{r}\right\} + \frac{\partial f}{\partial \phi}\left\{\frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r\sin\theta}\right\}$

[modifier] Divergence

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $r \; \sin \theta$ et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit $(\nabla \cdot \mathbf{v})^i = \frac{1}{r^2 \sin\theta} \partial_i \left(r^2 \sin\theta \; v^i\right)$ .

Dans la base naturelle, on a

$\begin{matrix} \mathbf{v} &=& v^r \mathbf{e}_r &+& v^\theta \mathbf{e}_\theta &+& v^\phi \mathbf{e}_\phi \\ \nabla \cdot \mathbf{v} &=& \left(\frac{2}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right) v^r &+& \left(\frac{1}{\tan\theta} + \frac{\partial}{\partial \theta}\right) v^\theta &+& \frac{\partial}{\partial \phi} v^\phi \end{matrix}$

et donc dans la base orthonormée $\left(\mathbf{e}_r, \frac{\mathbf{e}_{\theta}}{r}, \frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r \sin\theta}\right)$ :

$\begin{matrix} \mathbf{v} &=& v^r \mathbf{e}_r &+& \left\{ r v^\theta \right\} \left\{ \frac{\mathbf{e}_\theta}{r} \right\} &+& \left\{ r \sin\theta \; v^\phi \right\} \left\{ \frac{\mathbf{e}_\phi}{r \sin\theta} \right\}\\ \nabla \cdot \mathbf{v} &=& \left(\frac{2}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right) v^r &+& \left( \frac{1}{r \tan \theta} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left\{r v^\theta\right\} &+& \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \left\{ {r \sin\theta \; v^\phi} \right\} \end{matrix}$

[modifier] Laplacien

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques,

pour un champ scalaire $f$ , le laplacien

$\nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_i\left( \sqrt{\det g} \; g^{ij} \partial_j f \right)$

s'écrit

$\nabla^2 f = \left( \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2 \tan \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right) f$

pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

Calcul tensoriel/Espace euclidien

Un livre de Wikibooks.

Sections

[modifier] Coordonnées cylindriques

[modifier] Tenseur métrique

[modifier] Symbole de Christoffel

[modifier] Gradient

[modifier] Divergence

[modifier] Laplacien

[modifier] Rotationnel

[modifier] Tenseur de courbure

[modifier] Tenseur de Ricci

[modifier] Coordonnées sphériques

[modifier] Tenseur métrique

[modifier] Symbole de Christoffel

[modifier] Gradient

[modifier] Divergence

[modifier] Laplacien

[modifier] Rotationnel

[modifier] Tenseur de courbure

[modifier] Tenseur de Ricci

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