Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur métrique

En coordonnées sphériques $\left(r, \theta, \phi\right)$, où $\phi$ est l'angle azimutal et $\theta \in \left[0, \pi\right]$ est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut $dl^2 = dr^2 + r^2 \; d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2 \sin^2\theta \end{matrix}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $\sqrt{\det{g}} = r^2 \sin\theta$.

L'inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^{-2} & 0\\ 0 & 0 & r^{-2}\sin^{-2}\theta & \end{matrix}\right)$

• Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_{\theta}, \mathbf{e}_{\phi}\right)$ est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf{e}_r, \frac{\mathbf{e}_{\theta}}{r}, \frac{\mathbf{e}_{\phi}}{r \sin\theta}\right)$.