Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur métrique

Un livre de Wikibooks.

En coordonnées cylindriques \left(r, \phi, z\right), le carré d'un élément de longueur vaut dl^2 = dr^2 + r^2 \; d\phi^2 + dz^2 et donc le tenseur métrique vaut

g_{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut \sqrt{\det{g}} = r.

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

g^{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{r^2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)

  • Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle \left(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\phi, \mathbf{e}_z\right)est orthogonale et la base orthonormée s'écrit \left(\mathbf{e}_r, \frac{\mathbf{e}_\phi}{r}, \mathbf{e}_z\right).

Récupérée de « http://fr.wikibooks.org/wiki/Calcul_tensoriel/Espace_euclidien/Coordonn%C3%A9es_cylindriques/Tenseur_m%C3%A9trique »