Discussion:Curiosités mathématiques/pliages/accordéon

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Je tombe là-dessus par hasard et je n'ai pas le temps de regarder ce petit problème de plus près mais j'ai l'impression que l'on doit pouvoir démontrer ça en moins de deux à l'aide des centres de gravité (ils sont à la même place pour deux bandes successives liées par un pli). Jean-Jacques MILAN 31 octobre 2006 à 00:12 (CET)

c'est bien possible, utiliser le centre de gravité nous donne une suite récurrente simple, donc plus de matrices. Je regarderai...

Nicostella 31 octobre 2006 à 13:06 (CET)

Bonjour, on peut remarquer que le trajet du pliage de la gauche vers la droite d'une longueur l est suivi d'un retour de l/2, donc il s'agit d'une progression de l/2. le pliage de la droite vers la gauche n'apporte pas de progression. La progression suivante est de l/4. Les progressions successives de gauche vers la droite sont donc 1/4 (premier et second plis), puis 1/16 (3e et 4e plis), etc. La somme est donc 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/4 . (1/(1-1/4)) = 1/3.

[modifier] Progression géométrique

--Guerinsylvie 19 août 2008 à 13:37 (CEST)

Bonjour, je tombe ici par hasard, mais en regardant l'exercice, je suis perplexe sur la méthode de résolution ; en fait, cela s'appelle la "règle" du "marchandage au vide-grenier" :

proposer le prix premier, soit P , alors le prix final sera P.2/3 :

en effet la série est P-P/2+P/4-P/8 + , soit P . (1-r^n)/(1-r) avec ici la raison géométrique r= -1/2, de module inférieur à 1 .Quand n tend vers l'infini, on a donc : P_final = P [1/(1-(-1/2))] = P. 2/3

Je me souviens avoir enseigné cela à des petits de 11 ans, comme préalable à leur inscription au vide-grenier, sans adulte accompagnateur. On commence d'abord par la série géométrique de raison r = +1/2 qui donne 2P (ce qui résout le "pseudo-paradoxe d'Achille_et_la_tortue).

Dans le cas du pliage en accordéon, il n'est pas difficile de convaincre les enfants,qu'en répétant le pliage d' autre côté, on obtiendra un point limite L2, symétrique.Enfin que L1L2 = 1/3 P, "parce que c'est le même point si l'on commence à la feuille moitié " est plus difficile à cerner, mais bcp ont compris.

Enfin voici la règle dans son entier :

Le premier (disons le vendeur) donne le prix le premier P1 ,et l'acheteur marchande le prix à P2

Soit P = P1-P2 , le prix final sera P2 +1/3P

D'un autre côté, l'acheteur donne son prix P2 , mais le vendeur déclare vendre à P1>P2

Soit P = P1-P2 , le prix final sera P2 +2/3 P.

Conclusion : les enfants, ne jamais donner son prix le premier en tant qu'acheteur et éviter les écarts P trop importants ! ne jamais donner son prix le premier en tant que vendeur et éviter les écarts P trop importants.

--Guerinsylvie 19 août 2008 à 13:37 (CEST)

Bonjour Sylvie,

Après deux tentatives infructueuses pour répondre à ton message, je t'envoie ici le résultat de mes cogitations :

La feuille de départ est pliée en bandes dont les largeurs diminuent de moitié à chaque pli. Le point bleu est situé au tiers de la largeur initiale de la feuille non pliée. En suivant la feuille pliée depuis l'origine, tout-à-fait à gauche, on parcourt sur chacune des bandes 2/3 de sa largeur avant d'arriver au niveau du point bleu, puis 1/3 au-delà, et il n'y a aucune raison pour que cela s'arrête ...

Autrement, si l'on part du premier bord à gauche, on avance vers la droite de 1/2 de la largeur initiale de la feuille, puis on recule d' 1/4, on avance de 1/8, etc.

Reste à montrer que 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + 1/32 - 1/64 + ... = 1/3

cette série équivaut à 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

ou encore 3/4 + 3/16 + 3/64 + ... = 1, CQFD

On revient à la flèche d'Achille, qui avancerait en parcourant à chaque fois 3/4 de la distance restante, au lieu de 1/2 comme dans l'histoire conventionnelle ...

Amitiés. Jean-Jacques MILAN 20 août 2008 à 17:32 (CEST)

[modifier] Et voilà

Vous n'avez plus mal aux dents mais à la tête. Pourrait-on finir l'article de cette manière ?