Invariants intégraux/Cartan1922/001

Un livre de Wikibooks.

Pour un point matériel de masse $m$ dans un potentiel $V$ , l'action élémentaire sur un intervalle de temps $d t$ est définie par

$dS = \left(T-V\right)dt$

différence de l'énergie cinétique $T$ et de l'énergie potentielle $V$ fois l'intervalle de temps.

Soient $x, y, z$ les coordonnées orthonormales du point, $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ les composantes de sa vitesse. L'action entre les instants $t 0$ et $t 1$ est l'intégrale

$S = \int_{t_0}^{t_1}\left(\frac{1}{2} m \left(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2\right)-V(x, y, z)\right)dt$

L'action peut être calculée sur la trajectoire réellement suivie par le point matériel entre les instants $t 0$ et $t 1$ , mais aussi sur une trajectoire infiniment voisine $x (t) + δ x (t), y (t) + δ y (t), z (t) + δ z (t)$ . On suppose dans cette section que les points de départ et les points d'arrivée restent inchanchés :

0 = δ x (t 0) = δ y (t 0) = δ z (t 0) = δ x (t 1) = δ y (t 1) = δ z (t 1)

La variation de l'action entre ces deux trajectoires vaut

$\delta S = \int_{t_0}^{t_1}\left( m \left(\dot{x} \delta \dot{x} + \dot{y} \delta \dot{y} + \dot{z} \delta \dot{z}\right)- \frac{\partial V}{\partial x} \delta x + \frac{\partial V}{\partial y} \delta y + \frac{\partial V}{\partial z} \delta z \right)dt$

Au mème instant, et pendant un intervalle de temps $d t$ , on a une coordonnée qui passe de $x$ à $x + \dot{x} dt$ sur une trajectoire et de $x + δ x$ à $x + \delta x + \dot{x} dt + \frac{d \left(\delta x\right)}{dt} dt$ sur l'autre. On a donc $\delta \dot{x} = \frac{d \left(\delta x\right)}{dt}$ , ce qui nous permet d'intégrer

$\int_{t_0}^{t_1} \dot{x} \delta \dot{x} dt = \int_{t_0}^{t_1} \dot{x} d \left(\delta x\right) = \dot{x} \delta x |_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1} \ddot{x} \delta x dt$

Comme $δ x$ est supposé nul en $t 0$ et $t 1$ , il ne reste que le second terme, que l'on peut introduire dans le calcul de la variation de l'action :

$\delta S = - \int_{t_0}^{t_1}\left( \left(m \ddot{x} + \frac{\partial V}{\partial x} \right) \delta x + \left(m \ddot{y} + \frac{\partial V}{\partial y} \right) \delta y + \left(m \ddot{z} + \frac{\partial V}{\partial z} \right) \delta z \right)dt$

Il est équivalent d'écrire que l'action est extrémale pour une variation quelconque de la trajectoire sauf aux extrémités (principe de la "moindre" action de Hamilton), que $δ S$ est nul, et que l'on a les équations de la dynamique

$m \ddot{x} = - \frac{\partial V}{\partial x}$

$m \ddot{y} = - \frac{\partial V}{\partial y}$

$m \ddot{z} = - \frac{\partial V}{\partial z}$

Invariants intégraux/Cartan1922/001

Un livre de Wikibooks.

Affichages

Outils personnels

Rechercher

Bibliothèque

Navigation

Aide

Imprimer / exporter

Boîte à outils