Invariants intégraux/Cartan1922/002

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Par rapport à la section précédente, on permet que la trajectoire différe aux extrémités, en position aussi bien spatiale que temporelle. À la variation δS déja calculée, il faut rajouter le terme

\left(\frac{1}{2} m \left(\dot{x}^2_1 + \dot{y}^2_1 + \dot{z}^2_1\right) - V_1\right) \delta t_1 - \left(\frac{1}{2} m \left(\dot{x}^2_0 + \dot{y}^2_0 + \dot{z}^2_0\right) - V_0\right) \delta t_0

ainsi que le terme

m \left(\dot{x} \delta x + \dot{y} \delta y + \dot{z} \delta z\right)|_{t_0}^{t_1}

Pour calculer ce terme, on remarque que la variation de l'extrémité δx1 est la somme de la variation de la trajectoire \delta x |_{t_1} et de \dot{x}_1 \delta t_1, et par suite

\dot{x} \delta x |_{t_0}^{t_1} = \dot{x}_1 \left(\delta x_1 - \dot{x}_1 \delta t_1\right) - \dot{x}_0 \left(\delta x_0 - \dot{x}_0 \delta t_0\right)

On peut finalement écrire

\delta S = \omega_\delta |_0^1 - \int_{t_0}^{t_1}\left( \left(m \ddot{x} + \frac{\partial V}{\partial x} \right) \delta x + \left(m \ddot{y} + \frac{\partial V}{\partial y} \right) \delta y + \left(m \ddot{z} + \frac{\partial V}{\partial z} \right) \delta z \right)dt

avec \omega_\delta = m \dot{x} \left(\delta x - \dot{x} \delta t\right) + m \dot{y} \left(\delta y - \dot{y} \delta t\right) + m \dot{z} \left(\delta z - \dot{z} \delta t\right) + \left(\frac{1}{2} m \left(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2\right) - V\right) \delta t ou

\omega_\delta = m \dot{x} \delta x + m \dot{y} \delta y + m \dot{z} \delta z - \left(\frac{1}{2} m \left(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2\right) + V\right) \delta t

La variation de l'action entre trajectoires réelles se réduit donc à

δS = ωδ | 1 − ωδ | 0

En considérant une famille de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, la somme δS est nulle et les intégrales sur les deux courbes fermée de l'espace-temps à chaque extrémité du tube sont égales. On a

∫ ωδ = ∫ ωδ
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