Invariants intégraux/Cartan1922/005

Un livre de Wikibooks.

Le fait que $\int \omega_\delta$ soit un invariant intégral est une condition nécessaire des équations du mouvement. On va montrer que c'est aussi une condition suffisante, qui remplace le principe de Hamilton.

Partant d'équations différentielles quelconques

$\frac{dx}{X} = \frac{dy}{Y} = \frac{dz}{Z} = ds = \frac{dv_x}{V_x} = \frac{dv_y}{V_y} = \frac{dv_z}{V_z} = \frac{dt}{T}$ ,

où les dénominateurs sont des fonctions de $x, y, z, v x, v y, v z, t$

Soit

I =	∫	ω_δ
	(C)

l'intégrale sur une courbe

$x, y, z, t$ donnée et $I + δ I$ l'intégrale sur une courbe voisine portée par le même tube de trajectoires. On a

$\delta I = \int_{(C)} m \delta v_x dx + m \delta v_y dy + m \delta v_z dz - \delta E dt + m v_x \delta \left(dx \right) + m v_y \delta \left(dy \right) + m v_z \delta \left(dz \right) - E \delta \left(dt \right)$

On calcule $\int_{(C)} v_x \delta \left(dx \right) = \int_{(C)} v_x d \left(\delta x \right) = v_x \delta x |_{(C)} - \int_{(C)} d v_x \delta x = - \int_{(C)} d v_x \delta x$ et idem pour les trois autres termes, donc

δI =	∫	mδv_xdx + mδv_ydy + mδv_zdz − δEdt − mδxdv_x − mδydv_y − mδzdv_z + δtdE
	(C)

ou

$\delta I = \int_{(C)} \left(m dx - \frac{\partial E}{\partial v_x} dt \right) \delta v_x + id. + \left(- m d v_x - \frac{\partial E}{\partial x} dt \right) \delta x + id. + \left(dE - \frac{\partial E}{\partial t} dt \right) \delta t$