Invariants intégraux/Cartan1922/028

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Considérons un système de N équations différentielles ordinaires du premier ordre, en notant $\mathbf{q}$ le vecteur des N variables dépendantes et t la variable indépendante :

$\frac{d \mathbf{q}}{d t} = \mathbf{Q}(\mathbf{q}, t)$

Une solution $\mathbf{q} = \mathbf{q}_S (t)$ est appelée trajectoire du système.

Une fonction quelconque $f(\mathbf{q}, t)$ a pour différentielle

$df = \left(\nabla f\right) \cdot d\mathbf{q} + \frac{\partial f}{\partial t} dt$

Prise sur une trajectoire, cette différentielle devient

$df = \left(\left(\nabla f\right) \cdot \mathbf{Q} + \frac{\partial f}{\partial t} \right) dt$

On appelle intégrales premières du système d'équations différentielles les fonctions $u(\mathbf{q}, t)$ qui restent constantes le long d'une trajectoire quelconque. Ces fonctions sont donc les solutions de l'équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre

$\left(\nabla u\right) \cdot \mathbf{Q} + \frac{\partial u}{\partial t} = 0$

Réécrivons la différentielle de f sous la forme

$df = \left(\nabla f\right) \cdot \left(d\mathbf{q} - \mathbf{Q} dt\right) + \left(\left(\nabla f\right)\cdot \mathbf{Q} + \frac{\partial f}{\partial t} \right) dt$

Pour une intégrale première, on a

$du = \left(\nabla u\right) \cdot \left(d\mathbf{q} - \mathbf{Q} dt\right)$

Donc la différentielle d'une intégrale première quelconque est une combinaison linéaire des N formes différentielles linéaires

$d q_1 - Q_1 dt, d q_2 - Q_2 dt, \ldots, d q_N - Q_N dt$

Réciproquement, si la différentielle de $v$ est une combinaison linéaire

$dv = \mathbf{c} \cdot \left(d\mathbf{q} - \mathbf{Q} dt\right)$

des N formes, écrivant

$dv = \left(\nabla v\right) \cdot d\mathbf{q} + \frac{\partial v}{\partial t} dt$

on en déduit $\mathbf{c} = \nabla v$ et $\left(\nabla v\right) \cdot \mathbf{Q} + \frac{\partial u}{\partial t} = 0$ , donc que $v$ est une intégrale première.

Si l'on se donne N intégrales premières indépendantes, le système linéaire

$du_j = \left(\nabla u_j\right) \cdot \left(d\mathbf{q} - \mathbf{Q} dt\right)$

peut être inversé, c'est à dire que chaque forme $d q i - Q i d t$ est une combinaison linéaire des $d u j$

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