- Trouver les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
Comme
et
sont des constantes,
Comme
et
sont des fonctions affines, leurs dérivées sont des constantes :
et
On peut trouver
avec la règle de la dérivée d'un produit puisque
Or
donc
Comme
on trouve
avec la règle de la dérivée d'un produit par une constante :
Comme
on trouve
avec la règle de la dérivée d'une somme :
Comme
,
donc
Comme
,
donc
Comme
,
donc
Comme
,
donc :
- Vérifier que la règle de la dérivée d'un produit par une constante
est un cas particulier de la règle du produit des dérivées ![{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcc2675f11f31c41f08005f4428657ede1b7c56)
Comme
est une constante,
et
- On veut prouver que
pour tout entier ![{\displaystyle n\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ce9ce38d06f6bf5a3fe063118c09c2b6202bfe)
, où
est un entier et
est définie par ![{\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7114c9a7d2c5df0444599c879b4f1052751ffc82)
- Montrer que la formule est vraie pour
![{\displaystyle n=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425)
donc
- Montrer que si la formule est vraie pour
alors elle reste vraie pour ![{\displaystyle n+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1)
donc
Si on suppose que la formule est vraie pour
,
et on obtient
, la formule reste donc vraie pour n+1
Ces deux conditions suffisent pour conclure que la formule est vraie pour tout entier
: d'après la première condition la formule est vraie pour
, d'après la seconde condition elle est donc vraie pour
, mais encore d'après cette même condition elle est alors vraie pour
et ainsi de suite, à l'infini.