Algèbre/Fonctions et applications

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Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

Applications[modifier | modifier le wikicode]

Définition intuitive d'une application[modifier | modifier le wikicode]


Définitions :

Une application, d'un ensemble E dans un ensemble F (ou de E vers F) est une correspondance, qui à tout élément x de E associe un et un seul élément y de l'ensemble F. y est appelé l'image de x par f et se note f(x).
x est un antécédent de y par f.
E s'appelle l'ensemble de départ ou l'ensemble de définition de f, et F l'ensemble d'arrivée.
L'application f de E dans F se note

ou ou encore

La partie G formée des couples de E × F de la forme (x, f(x)) où x parcourt l'ensemble E s'appelle le graphe de f. Nous avons donc

Une représentation graphique de f est une représentation du graphe de f.

L'ensemble des applications de E dans F se note habituellement ou ou .
Si E=F, l'ensemble des applications de E dans E se note plus simplement ou ou .

Remarques :

  1. Souvent la notion d'application est confondue avec celle de fonction.
  2. L'image d'un élément x par f est aussi appelée la valeur de f en x.
  3. Pour tout x élément de E, f(x) est un élément de F, et ne représente pas l'application f. Il ne faut en aucun cas confondre l'application f, avec l'image par f d'un élément. Ceux qui considèrent que f(x) est une fonction de la variable x, devraient se poser la question suivante:
pour f=exp, si x prend la valeur 2, f(x) est-elle toujours une fonction ?
  1. Si f est une application de E dans F alors nous avons la propriété

Définition (égalité des applications):

Deux applications et sont dites égales si les trois propriétés suivantes sont vérifiées

  1. E=E' (même ensemble de départ)
  2. F=F' (même ensemble d'arrivée)
  3. pour tout x, f(x)=g(x).

Application et relation[modifier | modifier le wikicode]


Définitions :

Un graphe fonctionnel dans est une partie de telle que pour tout , il existe au plus un élément tel que .

Une fonction est un triplet , où est un graphe fonctionnel dans . Si est une fonction, si , on note pour . On dit alors que est un antécédent de par , et que est l'image de par . Une application est une fonction telle que tout admet une image .

Exemples d'applications[modifier | modifier le wikicode]


Définition :

Soit E un ensemble quelconque. L'application identité de E (ou application identique de E) est l'application de E dans E, notée , définie par

.

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques. Une application f de E dans F est dite constante s'il existe un élément a de F, tel que pour tout x de E, on ait f(x)=a, c'est-à-dire si

.

Exemples :

  • est une application.
  • est une application.

Définition :

Soit A une partie d'un ensemble quelconque E. Nous appelons application caractéristique de A (ou fonction indicatrice de A), l'application de E dans {0, 1} notée ou UnA.png définie par

.

Prolongements et restrictions[modifier | modifier le wikicode]


À partir d'une application donnée, nous pouvons créer d'autres applications en remplaçant simplement l'ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

Restriction d'une application[modifier | modifier le wikicode]

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' une partie de E. Nous appelons la restriction de f à E', l'application g de E' dans F qui à tout x de E' associe f(x) i.e. telle que

Cette application g est habituellement notée .

Exemple :

L'application peut être restreinte à en l'application .

Prolongements d'une application[modifier | modifier le wikicode]

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' un ensemble contenant E. Nous appelons un prolongement de f à E', toute application g de E' dans F dont la restriction à E est égale à f, i.e. telle que

Remarque :

Il existe en général plusieurs prolongements d'une même application.

Exemples :

  1. Les applications et
    sont des prolongements à [0, 1] de l'application .
  2. sin est un prolongement à de l'application .

Restriction de l'ensemble d'arrivée[modifier | modifier le wikicode]

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' une partie de F. Il est possible de restreindre l'ensemble d'arrivée de l'application f, pour former une application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x), à condition que tout élément x de E ait une image dans F' (i.e. l'image de f soit incluse dans F').
Dans ce cas l'application g se note

Extension de l'ensemble d'arrivée[modifier | modifier le wikicode]

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' un ensemble contenant F. Nous pouvons toujours considérer l'application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x).

Composition des applications[modifier | modifier le wikicode]

Définition :

Soient E, F et G trois ensembles quelconques. Soit f une application de E dans F et g une application de F dans G. La composée de f par g est l'application de E dans G notée qui à tout x de E associe g(f(x)), i.e. l'application définie par

.

Exemple :

Considérons les applications et . Alors les composées de f par g et de g par f sont les applications et .

Exercice :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Déterminer

et

Remarque :

En général nous n'avons pas .

Définition :

Soient E un ensemble quelconque, f et g deux applications de . Nous disons que f et g commutent (pour la composition des applications) si .

Remarque :

Soient E un ensemble quelconque, et f une application de . Nous avons

et donc commute avec toute application de .

Proposition (associativité de la loi de composition) :

Soient E, F, G et H quatre ensembles quelconques. Soient , et trois applications. Alors nous avons

.

Démonstration :

et sont bien des applications de E dans H et nous avons

Notation :

Cette application composée de f par g par h, se note simplement .


Définitions :

Soit E un ensemble quelconque.

  1. Soit f une application de . Nous convenons de poser .
  2. Soient , n applications de (). La composée de par , par ..., par notée se définit par récurrence et d'après la proposition précédente, les parenthèses sont inutiles, nous pouvons noter ce produit plus simplement .
  3. Soient f une application de , et . En particulier (pour ), nous obtenons la composée de f par elle-même n fois qui se note . Celle-ci vérifie

Exercice :

On considère l'application . Déterminer pour tout entier naturel n, fn.

Applications injectives, surjectives, bijectives[modifier | modifier le wikicode]

Les types d'applications[modifier | modifier le wikicode]


Définitions :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une application.

  • Nous disons que f est une application injective ou est une injection si deux éléments quelconques de E ayant même image par f sont nécessairement égaux, c'est-à-dire
    .
  • Nous disons que f est une application surjective ou est une surjection si tout élément y de F possède au moins un antécédent par f, c'est-à-dire
    .
  • Nous disons que f est une application bijective ou est une bijection si elle est à la fois injective et surjective.

Notations :

Nous notons Inj(E, F), Surj(E, F), Bij(E, F) l'ensemble des injections, surjections, et bijections de E vers F.

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F.

  • f est dite injective si et seulement si deux éléments distincts quelconques de E ont des images distinctes, c'est-à-dire

    (contraposée de l'implication de la définition de l'injectivité.)
  • f est injective si et seulement si tout élément y de F possède au plus un antécédent par f.
  • f est injective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet au plus une solution dans E.
  • f est surjective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet au moins une solution dans E.
  • f est bijective si et seulement si tout élément y de F possède un unique antécédent par f, c'est-à-dire
    .
  • f est bijective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet une unique solution dans E.

Propriétés immédiates :

  • La composée de deux applications injectives est injective.
  • La composée de deux applications surjectives est surjective.
  • La composée de deux applications bijectives est bijective.

Proposition :

Soient E, F et G trois ensembles et des applications , .

  • injective implique que f injective.
  • surjective implique que g surjective.

Application réciproque d'une application bijective[modifier | modifier le wikicode]


Définition (application réciproque d'une bijection) :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une application bijective.

L'application de F dans E, qui à tout élément de l'ensemble d'arrivée de f, associe son unique antécédent par f se note f-1 et s'appelle l'application réciproque de f.


Théorème :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une bijection. Alors l'application réciproque f-1 de f vérifie

De plus

et

L'application f-1 est bijective et nous avons

(l'application réciproque de f-1 est f)

Démonstration :

...

Remarque :

L'application réciproque d'une application bijective étant aussi bijective, elle est aussi appelée bijection réciproque de f.

Théorème :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une application de E dans F. Alors f est bijective si et seulement si il existe une application telle que et . Dans le cas où f est bijective, nous avons g=f-1.

Définition (application involutive) :

Soient E un ensemble quelconque et f dans . f est dite involutive si .

Remarque :

D'après le théorème précédent, f est bijective et nous avons . (f est sa propre bijection réciproque).

Exemples :

  • L'application identité d'un ensemble quelconque est involutive.
  • L'application est involutive.
  • L'application est involutive.
  • Soit E un ensemble quelconque et l'ensemble des parties de E. L'application ( étant le complémentaire de X dans E) est une involution de .
    • L'application est une involution de .

Image directe, image réciproque d'une partie par une application[modifier | modifier le wikicode]

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une application.

Soit A une partie de E, nous appelons image directe de A par f l'ensemble des éléments de F de la forme f(x) où x parcourt A, c'est-à-dire l'ensemble des éléments y de F tels qu'il existe un élément x de A tel que y=f(x). Cette image directe se note f(A), et nous avons

ou .

Dans le cas particulier où A=E, l'ensemble f(E) est l'ensemble des images de tous les éléments de l'ensemble de définition de f, et s'appelle l'ensemble des valeurs de f, ou image de f et se note im f ou im(f).

Propriétés immédiates :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une application.

  • (il n'y a pas d'image d'élément de l'ensemble vide puisque l'ensemble vide n'a pas d'élément)
  • Soit x un élément de E. Si A={x}, alors f(A)={f(x)}.

Remarques :

  • L'image directe d'une partie par une application est une partie de l'ensemble d'arrivée et non un élément de cet ensemble.
  • Il ne faut surtout pas confondre l'image directe d'une partie avec l'image d'un élément ou l'image d'une application.

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une application.
f est surjective si et seulement si f(E)=F.

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une application. Soit B une partie de F, nous appelons image réciproque de la partie B par f, l'ensemble des x de l'ensemble de définition X tels que f(x) appartienne à B, c'est-à-dire l'ensemble de tous les antécédents de tous les éléments de B. Cette image réciproque se note ou parfois Fmoinsun.png(B). Nous avons donc

Remarques :

  • La notation utilisée pour désigner l'image réciproque d'une partie par une application est trompeuse puisque f-1 peut faire penser à l'application réciproque (qui n'existe que dans le cas où f est bijective). En considérant , nous devons donc examiner si Y est une partie de l'ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit bien d'une image réciproque, ou si Y est un élément de l'ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit de l'image par l'application réciproque de l'élément Y de F, ce qui exige que f soit bijective.
  • Si B se réduit à un seul élément b, alors l'ensemble : s'écrit parfois , mais nous n'utiliserons jamais cet abus.

Propriétés immédiates :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une application.

  • , car f est une application et tous les éléments de E ont une image dans F.
  • Pour tout y de F, est l'ensemble de tous les antécédents de y par f.
    Si f est bijective, alors , puisque dans ce cas le seul antécédent de y est .

Propriétés :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une application quelconque.

  • (croissance de l'image directe)
  • (croissance de l'image réciproque)

Propositions :

Soient E et F deux ensembles quelconques et une application quelconque.

Familles[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné un ensemble E quelconque, nous voulons indicer certains éléments de E, pas forcément avec des entiers naturels comme avec les suites, mais avec les éléments d'un ensemble I d'indices. Nous allons donc définir une famille d'éléments de E comme une application de I dans E, ce qui va permettre d'attribuer à des éléments de E plusieurs indices.

Définition :

Soient E et I deux ensembles. Nous appelons famille d'éléments de E indexée par I, toute application de I dans E. L'ensemble I s'appelle ensemble des indices. Si est une famille, nous notons xi l'image de i par x et cette famille.

Si I est une partie de , alors la famille est une suite.

Si I est un ensemble fini, alors la famille est dite finie.

Si E est remplacé par , alors x est appelée une famille de parties de E.

Remarque :

Attention, une famille n'est pas nécessairement injective, et donc deux indices différents peuvent être attribués à un même élément de E.

Définition :

Soient E un ensemble quelconque et I un ensemble d'indices. Soit A une partie de E, l'injection

est une famille indexée par A et se note généralement . Elle est appelée famille canoniquement associée à la partie A.

Opérations sur les familles[modifier | modifier le wikicode]

Définition :

Soient E un ensemble quelconque et I un ensemble d'indices. Soit une famille de parties de E.

  • Nous appelons réunion de la famille , l'ensemble , noté .
  • Nous appelons intersection de la famille , l'ensemble , noté .

Changement d'indice[modifier | modifier le wikicode]

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque et une famille quelconque de parties de E, et soit une application surjective de J sur I. Nous avons

Associativité[modifier | modifier le wikicode]

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque et une famille quelconque de parties de E, et soit une famille de parties non vides de I telle que la réunion soit égale à I. Nous avons alors

Distributivité[modifier | modifier le wikicode]

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque, une famille quelconques de parties de E et A une partie de E. Nous avons

Distributivité généralisée[modifier | modifier le wikicode]

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque, et deux familles quelconques de parties de E. Nous avons

Passage au complémentaire[modifier | modifier le wikicode]

Proposition (lois de Morgan):

Soient E un ensemble quelconque, une famille quelconques de parties de E. Nous avons

Recouvrement, partition[modifier | modifier le wikicode]

Définition (recouvrement d'un ensemble) :

Soit E un ensemble quelconque et une famille quelconque de parties de E. Nous disons que cette famille forme un recouvrement de E si la réunion des parties de la famille est égale à E, c'est-à-dire si

.

Définition (partition d'un ensemble) :

Soit E un ensemble quelconque et une famille quelconque de parties de E. Nous disons que cette famille constitue une partition de E si les propositions suivantes sont vérifiées

  1. aucune des parties n'est vide, c'est-à-dire ,
  2. les parties sont deux à deux disjointes, c'est-à-dire ,
  3. la réunion des parties de la famille est égale à E, c'est-à-dire .

Image directe et image réciproque[modifier | modifier le wikicode]

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques, f une application de E dans F, une famille quelconque de parties de E et une famille quelconque de parties de F. Nous avons

Application caractéristique[modifier | modifier le wikicode]

Soient E et F deux ensembles quelconques. Soient f et g deux applications quelconques de E dans F. Dès lors que l'ensemble F est muni d'une addition ou d'une multiplication, il est possible de définir la somme des applications f et g, comme l'application de E dans F, qui à un élément x de E associe f(x)+g(x) et le produit des applications f et g, comme l'application de E dans F qui à un élément x de E associe, f(x).g(x).

Considérons l'ensemble {0, 1} et munissons cet ensemble d'une addition et d'une multiplication définies par

+ 0 1
0 0 1
1 1 0


× 0 1
0 0 0
1 0 1

Définition :

Nous convenons de poser -1=1 et -0=0.
Pour x dans {0, 1}, et pour tout entier relatif n, notons

(|n| désigne la valeur absolue de n)

Proposition :

Soit E un ensemble quelconque, f et g deux applications de et n un entier relatif. Les applications f+g, f.g et n.f définies par

.

appartiennent à .

Théorème :

Soit E un ensemble quelconque. L'application qui à une partie A de E associe l'application caractéristique de A est bijective de dans .

Corollaire :

Deux parties A et B de E sont égales si et seulement si leurs applications caractéristiques sont égales.

Propriétés :

Soient A et B deux parties d'une ensemble quelconque E. Nous avons les égalités suivantes :

  • Si les parties A et B sont disjointes alors

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