Calcul écrit/Version imprimable

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Calcul écrit

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Faire une addition à la main

Cette page explique comment additionner des nombres entiers à la main, c'est-à-dire avec papier et crayon, voire de tête.

Ajout de nombres entiers à 1 chiffre[modifier | modifier le wikicode]

Il faut pour cela nécessairement connaitre la table d'addition. Rien de mieux que l'entrainement pour cela.

La table d'addition suivante est simplifiée :

  • le zéro n'est pas représenté (puisque ajouter 0 à n'importe quel nombre ne le change pas). La table ne donne donc que les chiffres de 1 à 9 ;
  • Pour éviter les doublements (et clarifier la lecture), on n'a gardé qu'une seule des additions équivalentes (1+9 et 9+1 par exemple).

Il ne reste que les couples de chiffres utiles et donc à connaitre pour additionner.


Table d'addition
+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 5 6 7 8 9 10 11
3 6 7 8 9 10 11 12
4 8 9 10 11 12 13
5 10 11 12 13 14
6 12 13 14 15
7 14 15 16
8 16 17
9 18


Vous pourrez noter quelques couples particuliers ; les repérer vous sera d'une grande aide pour des additions plus compliquées :

  • Ceux dont la somme des chiffres font 10 :1+9 ; 2+8 ; 3+7 ; 4+6 ; 5+5.
  • Ceux dont la somme est inférieure à 10 (en haut à gauche des 10 dans le tableau)
  • Ceux dont la somme est supérieure à 10 (en bas à droite des 10 dans le tableau)

Exemples :

  • 4+3=7,
  • 5+1=6
  • 6+7=13
  • 1+9=10

Ajout de nombres entiers à 2 chiffres, sans retenue[modifier | modifier le wikicode]

Il faut d'abord savoir décomposer les nombres à deux chiffres en unités et dizaines.

Exemple : 54 se décompose en 4 unités et 5 dizaines.

Sans retenue signifie que la somme des chiffres des unités et des dizaines séparément n'atteint pas 10. Pour cela, il est utile de connaitre les couples de chiffres qui s'y prêtent (voir table d'addition précédente).


Exemple : comment calculer 12 + 53 ?

Tout d'abord on remarque que :

  • Somme des unités : 2 + 3 < 10
  • Somme des dizaines : 1 + 5 < 10

Donc aucune retenue n'est nécessaire : il suffit de calculer la somme des unités et des dizaines indépendamment !

Cela se fait comme suit :

  • Somme des unités : 2 + 3 = 5
  • Somme des dizaines : 1 + 5 = 6

Donc on a 5 aux unités et 6 aux dizaines, soit : 65.

Poser l'addition[modifier | modifier le wikicode]

Pour bien comprendre, poser les opérations, en inscrivant l'un sous l'autre les deux nombres à additionner et en prenant soin de bien aligner en colonne les unités sous les unités et les dizaines avec les dizaines. Le résultat s'écrira alors aligné en dessous, séparé par une ligne.

On pose donc :

   1 2
 + 5 3
 ____
 = 6 5

Ajout de nombres entiers à 2 chiffres, avec 1 retenue[modifier | modifier le wikicode]

On a une retenue lorsque la somme des unités dépasse 9 (supérieure à 10).

Exemple : 16 + 29

  • Somme des unités : 6 + 9 = 15 > 10

Il faut alors faire une retenue pour ce calcul.

Exemple pas à pas[modifier | modifier le wikicode]

Comment calculer 36 + 57 ?

On remarque que :

  • Somme des unités : 6 + 7 > 10 donc il nous faudra faire une retenue.

Poser l'addition[modifier | modifier le wikicode]

   3 6
 + 5 7
 _____
 = 9 3    <-- résultat à calculer, voir ci-dessous

Calcul des unités[modifier | modifier le wikicode]

Le calcul s'effectue ensuite en commençant par les unités :

  • 6 + 7 = 13

Le résultat (13 unités) peut se décomposer en 3 unités et 1 dizaine.

Ce 1 dizaine sera donc ajouté aux dizaines de 36 (c'est-à-dire 3) et de 57 (c'est-à-dire 5). On dit généralement que l'on « retient 1 » (autrement dit la retenue est 1).

On écrit donc le chiffre des unités 3 en bas dans la ligne des résultats :

   3 6
 + 5 7
 _____
 =   3    <-- unités calculées

et la retenue 1 est notée (en petit) en haut de la colonne des dizaines :

   1      <-- retenue
   3 6
 + 5 7
 _____
 =   3    <-- unités calculées

Calcul des dizaines[modifier | modifier le wikicode]

Vient ensuite le calcul des dizaines :

On calcule la somme des dizaines des deux nombres :

  • 3 + 5 = 8

puis on y ajoute la retenue :

  • 8 + 1 = 9

On inscrit ce résultat dans la colonne des dizaines :

   1      <-- retenue
   3 6
 + 5 7
 _____
 = 9 3    <-- chiffres calculés

Lecture du résultat[modifier | modifier le wikicode]

Le résultat du calcul de 36 + 57 est donc 93.

Explication[modifier | modifier le wikicode]

Notre système de numération est à base décimale, c'est à dire qu'il comporte 10 chiffres. L'écriture des nombres repose sur la convention suivante : chaque chiffre représente une puissance de 10,

  • le chiffre le plus à droite concernant l'unité (10 puissance 0),
  • le chiffre suivant (à gauche du premier) concerne les dizaines (10 puissance 1),
  • et ainsi de suite pour les centaines (10 puissance 2), etc.

exemple[modifier | modifier le wikicode]

102 = 1×100 + 0×10 + 2x1

analyse[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons la somme 12 + 53 :

12 = 1×10 + 2

53 = 5×10 + 3

donc 12 + 53 = 1×10 + 2 + 5×10 + 3 = (1+5)×10 + 5 = 6×10 + 5 = 65

Ce résultat est obtenu par la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition On voit donc que l'écriture en colonne ne fait que traduire cette propriété.

Et la retenue ?[modifier | modifier le wikicode]

17 + 57 = 1×10 + 7 + 5×10 + 7 = (5 + 1)×10 + 14 = (5 + 1)×10 + 10 + 4 = (5 + 1 + 1)×10 + 4 = 7×10 + 4 = 74


Faire une multiplication à la main

Méthode Russe[modifier | modifier le wikicode]

Exemple : calculons 123*234. De tête, cela est bien entendu impossible. En décomposant un des facteurs en puissances de 10, cela est très laborieux. Voici une méthode simple à mettre en œuvre, une fois comprise :

Poser la multiplication[modifier | modifier le wikicode]

   123
 * 234
 ------
= .....

On cache les valeurs à gauche et on multiplie[modifier | modifier le wikicode]

   ||3
 * ||4
 ------
= ....2

Ça fait 3*4 = 12. On marque 2 et on retient 1.

On tire le cache vers la droite[modifier | modifier le wikicode]

   |23
 * |34
 ------
= ...82

On fait la somme des produits en croix : 2*4 + 3*3, auquel on rajoute la retenue : cela fait 8 + 9 + 1 = 18, on marque 8 et on retient 1.

On re-tire le cache vers la droite[modifier | modifier le wikicode]

   123
 * 234
 ------
= ..782

On fait la somme des produits en croix : 1*4 + 2*3 + 3*2, auquel on rajoute la retenue : cela fait 4 + 6 + 6 + 1 = 17, on marque 7 et on retient 1.

On cache les valeurs à droite[modifier | modifier le wikicode]

   12|
 * 23|
 ------
= .8782

On fait encore la somme des produits en croix : 1*3 + 2*2, auquel on ajoute encore la retenue : cela fait 3 + 4 + 1 = 8, on marque 8.

On tire le cache vers la droite[modifier | modifier le wikicode]

   1||
 * 2||
 ------
= 28782

Et là on rajoute 2*1 = 2, soit 123*234 = 28782.

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

Cette méthode permet de faire des multiplications sans calculatrice. Cela marche avec des valeurs plus grandes ou plus petites. Pour faire 2451*26, on pose :

   2451
 *   26
 -------
= ......

Et on applique la méthode, en complétant avec des zéros le nombre ayant le moins de chiffres :

   2451
 * 0026
 -------
= 63726


Calcul de la racine carrée d'un nombre

Méthode[modifier | modifier le wikicode]

Voici une méthode pour calculer la racine carrée d'un nombre quelconque à la main :

  1. Regrouper les chiffres 2 par 2 en partant de la virgule (ou du dernier chiffre si aucune virgule),
  2. Au départ, aucune racine partielle n'est posée ( )
  3. En partant du groupe de 2 chiffres n le plus à gauche, chercher le plus grand chiffre c tel que:
    représente le double de la racine partielle trouvée jusque là, accolé au chiffre recherché.
  4. Soustraire le nombre trouvé au groupe de chiffres utilisé.
  5. Accoler le chiffre c trouvé à la racine partielle .
  6. Accoler le groupe de 2 chiffres suivant au résultat de l'étape 4.
  7. Recommencer à l'étape 3 en prenant pour n le résultat de l'étape 6.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Chercher la racine carrée de 39204.

  1. Regrouper les chiffres 2 par 2 en partant de la virgule.
     ->  3 92 04                   r = 0
  2. Chercher le chiffre c tel que càd
     ->  3 92 04                   r = 0
     ->  3         2rc*c : 1*1=1
  3. Soustraire le nombre trouvé au groupe de chiffres utilisé
     ->  3 92 04                   r = 0
     ->  3         2rc*c : 1*1=1
     ->  2
  4. Ajouter le chiffre c trouvé à la racine partielle r.
     ->  3 92 04                   r = 0
     ->  3         2rc*c : 1*1=1
     ->  2                         r = 1
  5. Accoler le groupe de 2 chiffres suivant
     ->  3 92 04                   r = 0
     ->  3         2rc*c : 1*1=1
     ->  2 92                      r = 1
  6. Recommencer ...
     ->  3 92 04                   r = 0
     ->  3         2rc*c : 1*1=1
     ->  2 92                      r = 1
     ->            2rc*c : 29*9=261
     ->    31 04                   r = 19
     ->            2rc*c : 388*8=3104
     ->        0                   r = 198
  7. 198 * 198 = 39204
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Calcul de la racine cubique d'un nombre

L'extraction de la racine cubique d'un nombre entier ou décimal telle qu'elle peut être pratiquée à la main ou à l'aide d'un ordinateur est une curiosité rarement exposée mais qui peut intéresser les amateurs.

Voici, présentée sur un exemple, la manière de procéder qui n'est qu'une extension de celle couramment pratiquée pour la racine carrée d'un nombre et assez généralement connue.

La justification viendra ensuite.

Soit donc à extraire la racine cubique approchée à une unité près par défaut de l'entier 163.936.758.817 (nombre que l'on sait a priori être le cube de 5.473).

On dispose les calculs comme pour une division ordinaire, le nombre précédent prenant la place occupée généralement par le dividende, le résultat venant s'inscrire progressivement à la place du diviseur et les calculs auxiliaires à la place du quotient.

Les différentes étapes du calcul à effectuer sont les suivantes:

A) On commence par séparer le nombre 163.936.758.817 en tranches de trois chiffres comme c'est indiqué, en partant de la virgule, vers la gauche et vers la droite, la tranche la plus à gauche pouvant donc contenir 1, 2 ou 3 chiffres (ici 3).

B) On cherche la racine cubique approchée à une unité près par défaut de la tranche la plus à gauche (ici 163). Cette racine cubique est 5 (premier résultat partiel de la racine cherchée) (car 125 163 < 216). On place ce premier résultat partiel de la racine cherchée à l'endroit habituellement réservé pour le diviseur, puis on retranche son cube (5 fois 5 fois 5 donc 125) à la première tranche à gauche (163 donc). Le résultat 38 (premier reste partiel) s'inscrit à l'emplacement qui lui est réservé et tel qu'il apparaît dans l'exemple.

C) On "abaisse" la tranche "suivante" (936 donc) à droite de ce premier reste partiel (38) de façon à former le nombre 38.936

D) Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (38.936 donc) par le triple du carré du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine, donc par 7.500 (3 fois le carré de 50). Ce quotient est 5 (car 38.936/7.500=5,19...) et il est trop fort a priori puisque l'on sait que le deuxième chiffre à trouver est un 4, le résultat annoncé précédemment étant 5.473. (Les calculs nécessaires pour prouver cette assertion, calculs identiques à ceux exposés avec 4, fourniraient le résultat 41.375 au lieu de 32.464 (voir ci-dessous le E)) et ce résultat 41.375 conduirait à une soustraction impossible et ces calculs sont laissés aux lecteurs courageux).

E) Ceci fait,

on ajoute :

        le triple du carré du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine (3 fois le carré de 50, soit 7.500 déjà calculé)

        le triple du produit du décuple du résultat partiel par le chiffre 4 à essayer et obtenu en D) (3 fois le produit de 50 par 4, soit 600)

        le carré du chiffre 4 à essayer (le carré de 4, soit 16)

puis on multiplie la somme (8.116) par le chiffre 4 à essayer, ce qui donne 32.464 que l'on retranche à gauche au nombre 38.936, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 6.472 (deuxième reste partiel). On place alors le chiffre 4 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du chiffre 5 (premier résultat partiel de la racine cherchée) ce qui donne le deuxième résultat partiel de la racine cherchée, soit 54

C bis) On "abaisse" la tranche "suivante" (758 donc) à droite de ce deuxième reste partiel (6.472) de façon à former le nombre 6.472.758 et on recommence comme en D).

D bis) Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (6.472.758 donc) par le triple du carré du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine, donc par 874.800 (3 fois le carré de 540). Ce quotient est 7 (car 6.472.758/874.800=7,39 ...) et il convient comme le montrent les calculs suivants :

E bis) Ceci fait,

on ajoute :

        le triple du carré du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine (3 fois le carré de 540, soit 874.800 déjà calculé)

        le triple du produit du décuple du résultat partiel par le chiffre 7 à essayer et obtenu en D) (3 fois le produit de 540 par 7, soit 11.340)

        le carré du chiffre 7 à essayer (le carré de 7, soit 49)

puis on multiplie la somme (886.189) par le chiffre 7 à essayer, ce qui donne 6.203.323 que l'on retranche à gauche au nombre 6.472.758, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 269.435 (troisième reste partiel). On place alors le chiffre 7 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du nombre 54 (deuxième résultat partiel de la racine cherchée) ce qui donne le troisième résultat partiel de la racine cherchée, soit 547.


C ter) On "abaisse" la tranche "suivante" (817 donc) à droite de ce troisième reste partiel (269.435) de façon à former le nombre 269.435.817 et on recommence comme en D).

D ter) etc ... etc ... (la suite étant laissée aux éventuels lecteurs)

 
163 936 758 8175473(Résultat)
-125
3×50²=7500
38 9363×50×4=600
-32 4644²=16
Total=8116×4=32 464
6 472 758
-6 203 3233×540²=874800
3×540×7=11340
269 435 8177²=49
-269 435 817Total=886189×7=6 203 323
Reste03×5470²=89762700
3×5470×3=49230
3²=9
Total=89811939×3=269 435 817
 

Justification

Soit A un entier, A1 le nombre de milliers de A et x la racine cubique approchée à une unité près par défaut de A1. Alors x est le nombre de dizaines de la racine cubique approchée à une unité près par défaut de l'entier A.


On a

A = 1000 A1 + A2 avec      0 A2 < 1000

et

x3 A1 < (x+1)3

donc

(10x)3 1000 A1 < [10(x+1)]3

Or A1 et (x+1)3 étant des entiers distincts, leur différence est supérieure ou égale à l'unité. Donc :

(x+1)3 - A1 1

et donc

[10(x+1)]3 - 1000 A1 1000 > A2

donc

[10(x+1)]3 > 1000 A1 + A2 = A

On a donc en définitive :

(10x)3 1000 A1 1000 A1 + A2 = A < [10(x+1)]3

ce qui établit l'énoncé précédent puisque

(10x)3 A < [10(x+1)]3

Il résulte de là que, si y est le chiffre des unités de la racine cubique approchée à une unité près par défaut de A, on a

(10x + y)3 A < (10x + y + 1)3

Si on désigne par R le reste de l'opération, c'est-à-dire la différence entre A et sa racine cubique approchée à une unité près par défaut, R vérifie donc l'inégalité :

R < (10x + y + 1)3 - (10x + y)3 = 300x2 + 3y2 + 60xy + 30x + 3y + 1

On a donc

A = (10x + y)3 + R = (10x)3 + 3.(10x)2.y + 3.10x.y2 + y3 + R

ou

A - (10x)3 = 3.(10x)2.y + 3.10x.y2 + y3 + R

Désignons par B la différence A - (10x)3 que l'on appelera premier reste partiel de l'opération.

Alors le quotient de B par 3.(10x)2, c'est-à-dire par le triple du carré du décuple de x est un nombre supérieur ou égal à y. Si donc on prend pour y la partie entière de ce quotient, on aura soit le chiffre des unités de la racine cubique cherchée, soit un nombre trop fort (si ce nombre dépasse 9, on le remplace par 9, puisque y est forcément un chiffre). Pour lever l'ambigüité il suffit de former le nombre 10x + y, donc de placer le chiffre y à droite de x et d'élever le résultat au cube. Si le résultat est inférieur ou égal à A, c'est que y convient et la racine cubique de A approchée à une unité près par défaut est le nombre 10x + y, sinon on refait des essais identiques avec les nombres y - 1, y - 2, etc ...jusqu'à obtenir un résultat inférieur ou égal à A, la dernière tentative livrant donc le chiffre des unités de la racine cubique.

Il ne semble pas utile de dire, puisque c'est évident, que si le nombre A possède des chiffres après la virgule, pour obtenir des décimales au résultat, il suffit de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de trois chiffres, d'"abaisser" celles-ci et de continuer de la même façon qu'auparavant en plaçant la virgule à l'endroit approprié du résultat.

Enfin, si le nombre A n'est pas un cube parfait, pour obtenir des décimales à la racine cubique, il suffit là encore de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de trois chiffres et d'"abaisser" celles-ci une fois arrivé à la fin du nombre.


Calcul de la racine quatrième d'un nombre

L'extraction de la racine quatrième d'un nombre entier ou décimal telle qu'elle peut être pratiquée à la main ou à l'aide d'un ordinateur est une curiosité rarement exposée mais qui peut intéresser les amateurs.

Voici, présentée sur un exemple, la manière de procéder qui n'est qu'une extension de celle couramment pratiquée pour la racine carrée d'un nombre et assez généralement connue.

La justification viendra ensuite.

Soit donc à extraire la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de l'entier 218889236736 (nombre que l'on sait a priori être la quatrième puissance de 684).

On dispose les calculs comme pour une division ordinaire, le nombre précédent prenant la place occupée généralement par le dividende, le résultat venant s'inscrire progressivement à la place du diviseur et les calculs auxiliaires à la place du quotient.

Les différentes étapes du calcul à effectuer sont les suivantes:

A) On commence par séparer le nombre 218889236736 en tranches de quatre chiffres comme ceci 2188.8923.6736, en partant de la virgule, vers la gauche et vers la droite, la tranche la plus à gauche pouvant donc contenir 1, 2, 3 ou 4 chiffres (ici 4).

B) On cherche la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de la tranche la plus à gauche (ici 2188). Cette racine quatrième est 6 (premier résultat partiel de la racine cherchée) (car 64 = 1296 2188 < 2401 = 74). On place ce premier résultat partiel de la racine cherchée à l'endroit habituellement réservé pour le diviseur, puis on retranche sa quatrième puissance (6 fois 6 fois 6 fois 6 donc 1296) à la première tranche à gauche (2188 donc). Le résultat 892 (premier reste partiel) s'inscrit à l'emplacement qui lui est réservé et tel qu'il apparaît dans l'exemple.

C) On "abaisse" la tranche "suivante" (8923 donc) à droite de ce premier reste partiel (892) de façon à former le nombre 8928923

D) Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (8928923 donc) par le quadruple du cube du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine, donc par 864000 (4 fois le cube de 60). Ce quotient est 10 (car 8928923 / 864000 = 10,33...) et il est trop fort a priori puisque l'on sait que le deuxième chiffre à trouver ne peut dépasser 9 et est un 8, le résultat annoncé précédemment étant 684. (Les calculs nécessaires pour prouver que 9 est trop fort, fourniraient le résultat 9707121 au lieu de 8421376 (voir ci-dessous le E)) et ce résultat 9707121 conduirait à une soustraction impossible et ces calculs sont laissés aux lecteurs courageux).

E) Cela fait,

on ajoute :

        le quadruple du cube du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine (4 fois le cube de 60, soit 864000 déjà calculé)

        le sextuple du produit du carré du décuple du résultat partiel par le chiffre 8 à essayer et obtenu en D) (6 fois le produit du carré de 60 par 8, soit 172800)

        le quadruple du produit du décuple du résultat partiel par le carré du chiffre 8 à essayer (4 fois le produit de 60 par le carré de 8, soit 15360)

        le cube du chiffre 8 à essayer (le cube de 8, soit 512)

puis on multiplie la somme (1052672) par le chiffre 8 à essayer, ce qui donne 8421376 que l'on retranche à gauche au nombre 8928923, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 507547 (deuxième reste partiel). On place alors le chiffre 8 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du chiffre 6 (premier résultat partiel de la racine cherchée) ce qui donne le deuxième résultat partiel de la racine cherchée, soit 68

C bis) On "abaisse" la tranche "suivante" (6736 donc) à droite de ce deuxième reste partiel (507547) de façon à former le nombre 5075476736 et on recommence comme en D).

D bis) Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (5075476736 donc) par le quadruple du cube du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine, donc par 1257728000 (4 fois le cube de 680). Ce quotient est 4 (car 5075476736 / 1257728000 = 4,03 ...) et il convient comme le montre les calculs suivants : En effet :

E bis) Cela fait,

on ajoute :

        le quadruple du cube du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine (4 fois le cube de 680, soit 1257728000 déjà calculé)

        le sextuple du produit du carré du décuple du résultat partiel par le chiffre 4 à essayer et obtenu en D bis) (6 fois le produit du carré de 680 par 4, soit 11097600)

        le quadruple du produit du décuple du résultat partiel par le carré du chiffre 4 à essayer (4 fois le produit de 680 par le carré de 4, soit 43520)

        le cube du chiffre 4 à essayer (le cube de 4, soit 64)

puis on multiplie la somme (1268869184) par le chiffre 4 à essayer, ce qui donne 5075476736 que l'on retranche à gauche au nombre 5075476736, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 0 (deuxième reste partiel). On place alors le chiffre 4 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du nombre 68 (deuxième résultat partiel de la racine cherchée) ce qui donne le troisième résultat partiel de la racine cherchée, soit 684 qui est d'ailleurs la racine quatrième exacte puisque le reste est égal à 0.



   
 
2188 8923 6736684(Résultat)
&#151;1296
4×60³=864000
89289236×60²×8=172800
&#151;842 13764×60×8²=15360
8³=512
5075476736Total=1052672×8=842 1376
&#151;50 7547 6736
4×680³=1257728000
Reste06×680²×4=11097600
4×680×4²=43520
4³=64
Total=1268869184×4=50 7547 6736
 

Justification

Soit A un entier, A1 le nombre de dizaines de mille de A et x la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de A1. Alors x est le nombre de dizaines de la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de l'entier A.

On a

A = 10000 A1 + A2 avec      0 A2 < 10000

et

x4 A1 < (x + 1)4

donc

(10x)4 10000 A1 < [10(x + 1)]4

Or A1 et (x + 1)4 étant des entiers distincts, leur différence est supérieure ou égale à l'unité. Donc :

(x + 1)4 - A1 1

et donc

[10(x + 1)]4 - 10000 A1 10000 > A2

donc

[10(x + 1)]4 > 10000 A1 + A2 = A

On a donc en définitive :

(10x)4 10000 A1 10000 A1 + A2 = A < [10(x + 1)]4

ce qui établit l'énoncé précédent puisque

(10x)4 A < [10(x + 1)]4

Il résulte de là que, si y est le chiffre des unités de la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de A, on a

(10x + y)4 A < (10x + y + 1)4

et que

A = (10x + y)4 + R

R étant le reste de l'opération, reste qui vérifie d'ailleurs la relation

R < (10x + y + 1)4 - (10x + y)4

ou, tous calculs faits :

R <4000x3 + 4y3 + 1200x2y + 120xy2 + 600x2 + 6y2 + 120xy + 40x + 4y + 1

Ainsi, on a donc :

A = 10000x4 + 4000x3y + 600x2y2 + 40xy3 + y4 + R

ou, ce qui est mieux :

A = (10x)4 + 4.(10x)3y + 6(10x)2y2 + 4(10x)y3 + y4 + R

Désignons par B la différence

A - (10x)4

différence que l'on appellera le premier reste partiel de l'opération.

On a

B = 4.(10x)3y + 6(10x)2y2 + 4(10x)y3 + y4 + R

donc

B / 4.(10x)3 = y + [6.(10x)2y2 + 4.(10x)y3 + y4 + R] / (4.(10x)3 )

Alors le quotient de B par 4.(10x)3, c'est-à-dire par le quadruple du cube du décuple de x est un nombre supérieur ou égal à y, y ne pouvant dépasser le chiffre 9 . Si donc on prend pour y un chiffre inférieur (au sens large) à la fois à 9 et à la partie entière de ce quotient, on aura soit le chiffre des unités de la racine quatrième cherchée, soit un chiffre trop fort. Pour lever l'ambigüité il suffit de former le nombre 10x + y, donc de placer le chiffre y à droite de x et d'élever le résultat à sa quatrième puissance. Si le résultat est inférieur ou égal à A, c'est que y convient et la racine quatrième de A approchée à une unité près par défaut est le nombre 10x + y, sinon on refait des essais identiques avec les nombres y - 1, y - 2, etc ...jusqu'à obtenir un résultat inférieur ou égal à A, la dernière tentative livrant donc le chiffre des unités de la racine quatrième.

Ce qui précède justifie les calculs effectués dans l'exemple donné en préambule. Le lecteur habitué aux raisonnements mathématiques n'aura aucune peine à compléter l'explication pour lui-même.

Il ne semble pas utile de dire, puisque c'est évident, que si le nombre A possède des chiffres après la virgule, pour obtenir des décimales au résultat, il suffit de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de quatre chiffres, d'"abaisser" celles-ci et de continuer de la même façon qu'auparavant en plaçant la virgule à l'endroit approprié du résultat.

Enfin, si le nombre A n'est pas une quatrième puissance parfaite, pour obtenir des décimales à la racine quatrième, il suffit là encore de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de quatre chiffres et d'"abaisser" celles-ci une fois arrivé à la fin du nombre.


Calcul de la racine n-ième d'un nombre

Cette méthode pour calculer la Niémeracine d'un nombre dérive du boulier (mais il n'est pas nécessaire d'avoir un boulier ni de savoir comment ça marche pour la mettre en pratique) elle est donc presque uniquement basée sur des additions et des soustractions (Pour la petite histoire j'avais passé toute une nuit a tenter de généraliser la méthode à partir de l'extraction des racines carrées et cubiques que je connaissais pour le boulier, et c'est lorsque le premier rayon de Soleil a traversé la vitre que la lumière fut ! Qui n'a pas connu l'ivresse des équations diophantienne à 4h du mat' ne peut pas comprendre !!!).

Les colonnes[modifier | modifier le wikicode]

Pour calculer on va faire un tableau de N colonnes. Le calcul se fera de gauche à droite puis de bas en haut. Les colonnes seront nommées R1,R2,R3 etc jusqu'à R(N - 1) et la dernière sera T. Cette colonne T pour "tranche" contiendra les tranches en cours car x sera découpé en tranches de N chiffres à partir de la droite ou de la virgule.

Exemples :


  • Comme pour la division, on abaissera d'abord la tranche la plus à gauche puis celle à sa droite et ainsi de suite.
  • Le nombre de tranches nous renseigne déjà sur le nombre de chiffres du résultat.
Exemple : La solution de aura 3 chiffres avant la virgule car il y a 3 tranches avant la virgule.
  • Chaque tranche va subir un certain nombre de soustractions avant que soit descendue la prochaine.

Laissons de coté, pour l'instant, les changements de tranche.

Calcul en escalier[modifier | modifier le wikicode]

Sur R1,R2 etc vont s'enchaîner une suite d'additions en forme d'escalier à l'envers (voir l'exemple ci-dessous).

À chaque nouvelle ligne on ajoutera +1 au nombre de R1.

  1. On commence donc et l'on met +1 en R1, ensuite R1 va venir s'ajouter à R2 (0+1=1!), qui lui ira s'ajouter à R3 et ainsi de suite jusqu'à R(N - 1) qui lui ira se soustraire à T.
  2. On démarre la seconde ligne en ajoutant +1 dans R1 (donc=2), R1 s'ajoute à R2 (1+2=3) qui s'ajoute à R3 etc jusqu'à R(N - 1) qui cette fois ne vient pas se soustraire à T.
  3. On démarre la ligne3 en ajoutant +1 à R1 qui vient s'ajouter à R2 etc jusqu'à R(N - 2).
  4. Pareil pour la ligne 4 mais jusqu'à R(N - 3), jusqu'à R(N - 4) pour la ligne 5
  5. etc.

Et les lignes s'enchaînent ainsi en se raccourcissant jusqu'à ce que R1 prenne son +1 sans aller s'ajouter à R2.

Lorsque l'on a fini le premier "escalier" on en redémarre un autre avec toujours les derniers chiffres des colonnes auxquels viennent s'ajouter les R1 dans les R2 etc (voir l'exemple). Donc en dehors de la colonne R1 (qui prend +1 à chaque ligne) et de T, vous pourrez constater sur l'exemple que chaque chiffre est la somme du chiffre qui est au-dessus de lui et de celui qui est à sa gauche.

La première marche de l'escalier est toujours la plus grande, c'est celle qui va jusqu'à la soustraction de R(N - 1) à T. On continue ce manège jusqu'à ce que T soit inférieur à R(N-1) (donc la soustraction serait négative) auquel cas il faut descendre une nouvelle tranche. Mais on verra ça plus tard. Intéressons-nous d'abord au cas n'ayant qu'une seule tranche et tombant juste.

Exemple :

R1

0

R2

0

R3

0

R4

0

T

1024

(+1) 1 (+R1) 1 (+R2) 1 (+R3) 1 1023
(+1) 2 (+R1) 3 (+R2) 4 (+R3) 5
(+1) 3 (+R1) 6 (+R2) 10
(+1) 4 (+R1) 10
(+1) 5
(+1) 6 (+R1) 16 (+R2) 26 (+R3) 31 992
(+1) 7 (+R1) 23 (+R2) 49 (+R3) 80
(+1) 8 (+R1) 31 (+R2) 80
(+1) 9 (+R1) 40
(+1) 10
(+1) 11 (+R1) 51 (+R2) 131 (+R3) 211 781
(+1) 12 (+R1) 63 (+R2) 194 (+R3) 405
(+1) 13 (+R1) 76 (+R2) 270
(+1) 14 (+R1) 90
(+1) 15
(+1) 16 (+R1) 106 (+R2) 376 (+R3) 781 0

Résultat[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant il y a deux manières de voir le résultat :

  • Soit on prend la dernière valeur de R1 et l'on fait :   
Donc ici c'est bien ça !
L'ajout de N-1 à R1 donne la valeur de R1 si on complète le dernier escalier.
Donc si on poursuit le calcul de l'escalier jusqu'au bout, on n'ajoute pas N-1 :   
  • Soit on compte combien de soustractions a dû subir la tranche (colonne T), ici 4. Si l'on avait dû baisser une seconde tranche et que celle-ci avait dû subir 2 soustractions la réponse aurait été 42 : 4 soustractions pour la 1ère tranche et 2 pour la 2ème. Cela veut dire aussi qu'un calcul dont la réponse serait 9 sera souvent plus long à effectuer que si c'était 2222 (9 escaliers contre 8).

Encore un exemple avant de passer au cas de plusieurs tranches :

Ex:

R1 R2 R3 T
 2  soustractions pour la tranche

Donc :

Plusieurs tranches[modifier | modifier le wikicode]

Le passage d'une tranche à l'autre est un peu plus délicat (à peine !), il s'effectue lorsque R(N - 1) est devenu supérieur à T. Il faut tout d'abord finir l'escalier qui précède cette situation embêtante jusqu'à la marche où R1 était seul sans s'ajouter à R2. Si l'on a poursuivi le calcul jusqu'à cette fameuse soustraction impossible, il suffit de barrer cette dernière ligne. Mais,le plus souvent,on s'aperçoit que ça ne "passera plus" avant, alors on termine l'escalier en cours.

Ensuite on multiplie R1 par 10, R2 par 100, R3 par 1000 bref tous les R(N) par 10N et l'on abaisse la tranche suivante en T ( ! ATTENTION !cette ligne n'a eu aucune addition ou soustraction !). Enfin on redémarre un escalier comme avant : on ajoute +1 à R1, R1 s'ajoute à R2 qui s'ajoute à R3...etc et R(N - 1) se soustrait à T.

Exemple 1[modifier | modifier le wikicode]

Calculer

R1 R2 T
( = 10 - 1 )
( 7 > 2 , là on voit que ça ne passera plus !)
(On finit l'escalier)
 2  soustractions pour la tranche
(on multiplie et abaisse la nouvelle tranche)
 2  soustractions pour la tranche

Donc :

Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]

Calculer

R1 R2 R3 T
( = 106 - 1 )
( 65 > 25 ...ça ne passera plus !)
 3  soustractions pour la tranche
(on multiplie et abaisse la nouvelle tranche)
( 125055 > 13168...ça ne passera plus !)
(On finit l'escalier)
 2  soustractions pour la tranche
(on multiplie et abaisse la nouvelle tranche)
 1  soustraction pour la tranche

Donc :

Chiffre zéro dans le résultat[modifier | modifier le wikicode]

Il peut arriver (1 fois sur 10) que même aprés avoir descendu une nouvelle tranche la soustraction reste négative, il va alors falloir descendre une nouvelle tranche ( cela correspond en fait au chiffre zéro dans la solution ). Il faut alors supprimer la dernière ligne ; on garde celle où les R(N) étaient multipliés par 10N et on remultiplie à nouveau les R(N) par 10N et l'on abaisse une nouvelle tranche. Le plus souvent on s'apercevra que ça ne "passera plus" avant de commencer la ligne suivante. Inutile de calculer ce que l'on va barrer, on remultiplie directement !

Si cela ne suffit toujours pas à rendre R(N - 1) supérieur à T, on remultiplie de nouveau les R(N) par 10N, on abaisse encore une tranche...

Exemple 1[modifier | modifier le wikicode]

Calculer


R1 R2 R3 T
(...ça passera plus !...)
 1  soustraction pour la tranche
(la nouvelle tranche n'est pas suffisante !)
 0  soustractions pour la tranche
(on remultiplie et remet une tranche)
 1  soustraction pour la tranche

Donc :

Remarque : La tranche "0406" n'a subi aucune soustraction d'où le zéro ! Désormais les opérations (+) et (-) ne seront plus signalées devant les flèches.

Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]

Calculer

R1 R2 T
 1  soustraction pour la tranche
(...pas suffisant !)
 0  soustraction pour la tranche
(...toujours pas !)
 0  soustraction pour la tranche
(OK)
 1  soustraction pour la tranche

Donc :

Exemple 3[modifier | modifier le wikicode]

Voyons maintenant le cas particulier du résultat se terminant par un ou des zéros.

Calculer

R1 R2 R3 R4 T
 2  soustractions pour la tranche

ATTENTION ! Il reste une tranche ! Vide, mais une tranche quand même !!! Mais finir l'escalier, multiplier et baisser la tranche vide nous conduirait à une erreur !

Dans ces cas là, on ne panique pas ...il suffit de multiplier le résultat final par 10 :

De la même manière nous laisserait deux tranches vides, donc
Inversement, pour un gain de temps, on peut dans abaisser immédiatement la tranche après la virgule à condition de ne pas oublier de diviser le résultat final par 10 :

D'une manière générale, il vaut mieux voir à l'avance si il y a moyen de se simplifier la tâche avec ce genre de multiplication ou de division.

Cependant, si on compte le nombre de soustractions pour obtenir le résultat, continuer le calcul aboutit au bon résultat :

R1 R2 R3 R4 T
 2  soustractions pour la tranche
(on multiplie et abaisse la nouvelle tranche)
 0  soustraction pour la tranche

Nombres décimaux[modifier | modifier le wikicode]

Le principe reste le même avec les nombres décimaux.

Exemple : Calculer

R1 R2 T
 1  soustraction pour la tranche
 .  point décimal avant la nouvelle tranche
(...pas suffisant !)
 0  soustraction pour la tranche
( Là peut'être !)
 2  soustractions pour la tranche

On a descendu deux tranches après la virgule ; on divise donc le résultat final par 100 :


Exercices

Soit la fonction définie par .

  1. Démontrer que est définie sur .
  2. Démontrer que la courbe représentative de admet une asymptote horizontale en et en .
  3. Étudier la position de la courbe par rapport à son asymptote.
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